Worsteling naar waarheid - pagina 112

EEN

SCHUCHTER

BEGIN

VAN W I S K U N D E

AAN DE

VU

constructivisme leverde wel enige problemen op, zoals het ontkennen van actuele oneindigheid. Een constructie is per definitie eindig, dus bijvoorbeeld het bestaan van een oneindig aantal cijfers achter de komma voor het getal jt was niet mogelijk voor intuïtionisten. Een hiermee samenhangende consequentie is dat de intuïtionist het 'principe van de uitgesloten derde' verwerpt. 101 Veel stellingen kunnen dan niet meer bewezen worden-precies omdat het bewijs ervoor nietconstructief is. ƒ<*>)

a

b ƒ(«)

De tussenwaardestelling. In % snijdt de grafiek de horizontale as.

Een bekend voorbeeld is de tussenwaardestelling. De bewering is dat voor een continue functie/op een gesloten interval [a,b] met f(a) < o en f(b) > o er een punt % tussen a en b is, zo dat f(x) = o. Met andere woorden: ƒ heeft een nulpunt. Het idee is, dat als de grafiek van/onder de %-as begint en erboven eindigt, hij wel ergens door de horizontale as zal moeten gaan (namelijk in x). Zie figuur. Om deze stelling te bewijzen moeten we het bestaan van het nulpunt x aantonen. Met het principe van de uitgesloten derde gaat dit als volgt: neem aan dat zo'n % niet bestaat. Dan heeft ƒ dus geen nulpunt en gaat niet door de horizontale as. Na enig (correct) redeneren volgt nu een tegenspraak. Gevolg is dat je aanname (het nulpunt % bestond niet) onjuist is. Volgens het principe van de uitgesloten derde moet nu gelden:

is er' of 'x is er niet';

een andere mogelijkheid is er niet: tertium non datur in het Latijn. 102 We konden 'x is er niet' als onjuist wegstrepen, dus de conclusie is dat het punt x bestaat. Dit bewijs zal misschien niet iedereen overtuigen, en daarin zit juist het probleem: we weten wel dat % er is, maar een recept om x te vinden is er niet bij. Zo'n recept zou een intuïtionist een constructie noemen, de procedure waarmee hij % maakt. In de praktijk is het vinden van % moeilijk; dat is ook de reden dat in het bewijs zo'n recept niet gegeven

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen