1965 Geloof en Wetenschap : Orgaan van de Christelijke vereeniging van natuur- en geneeskundigen in Nederland - pagina 49

DE CONTINUUM-HYPOTHESE

29

Inmiddels wordt het tijd dat we ons weer wenden tot ons oorspronkelijke onderwerp. Inmiddels ook is het ons mogelijk geworden de recente resultaten betreffende deze hypothese, waarop reeds enige malen werd gezinspeeld, te vermelden en toe te lichten. Eerst echter moet een resultaat genoemd worden dat al vijfentwintig jaar oud is. In 1938 publiceerde Gödel een geniaal bewijs van de relatieve consistentie van de continuum-hypothese (en zelfs van een zeer veel sterkere aanname). " ) . Hij toonde nl. het volgende aan: indien de verzamelingenleer, geaxiomatiseerd volgens Zermelo-Fraenkel of volgens Von Neumann-Bemays-Gödel, vrij is van tegenspraken, dan zal hij vrij van tegenspraken blijven indien de continuum-hypothese als axioma wordt toegevoegd. Door de continuum-hypothese als waar te aanvaarden zal men geen paradoxen introduceren. Maar dit houdt nog niet in dat de continuum-hypothese inderdaad een uxire uitspraak is. Of veel zwakker en toegankelijker (want waar moeten wij beginnen als wij vaststellen willen dat een wiskundige uitspraak inderdaad en ten volle waar is): Gödel's stelling impliceert nog niet dat de continuum-hypothese uit de verdere theorie bewezen kan worden. Het ware nog denkbaar — ofschoon nauwelijks voorstelbaar — dat ook de ontkenning van de continuum-hypothese (de aanname dus, dat er een oneindige verzameling van reële getallen bestaat die noch met de collectie der natuurlijke getallen, noch met die van alle reële getallen gelijkmachtig is) niet strijdig blijkt met de verdere theorie. Zulks zou inhouden, in de hiervoor gebruikelijke terminologie, dat de continuum-hypothese onafhankelijk is van de verdere axioma's. Zou het continuum-vermoeden onafhankelijk zijn, zo vragen we ons dus af. Indien zulks het geval zou zijn, dan zou dat betekenen dat het continuum-probleem binnen de huidige theorieën onbeslisbaar is: de continuum-hypothese was dan onweerlegbaar (immers hij leidt niet tot contradicties) maar ook onbewijsbaar (want anders was zijn ontkenning toch contradictoir). Hoewel in eerste instantie deze situatie hoogst onwaarschijnlijk lijkt ging men de mogelijkheid ervan geleiderlijkerwijs steeds meer onder ogen zien. In zijn reeds genoemde oratie „Discreet of Continu" zei professor Koksma ^"'): „Ik wijs echter op een buitengewoon belangwekkend vermoeden.

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen