1965 Geloof en Wetenschap : Orgaan van de Christelijke vereeniging van natuur- en geneeskundigen in Nederland - pagina 48

28

P. C. BAAYEN

gestroomlijnd door A. Fraenkel en T. Skolem, en het axiomatische systeem dat werd opgebouwd door J. von Neumann, P. Bemays en K. Gödel. Hoewel verschillend van opzet en methode zijn deze beide axiomatische theorieën toch tot op zekere hoogte gelijkwaardig ^); bij de tegenwoordige opbouw van de verzamelingenleer, en bij nieuwe onderzoekingen en verdere uitbouw, kiest men meestal één van deze beide axiomastelsels (of de een of andere nauwverwante variant) tot uitgangspunt. ^^) Daarbij is het zó dat inderdaad de oorspronkelijke verzamelingenleer van Cantor voor het grootste gedeelte opnieuw opgebouwd kan worden, opnieuw is opgebouwd, op de nieuwe fundamenten. En ditmaal is men niet op paradoxen gestoten die het bouwwerk deden scheuren; de fundamenten zijn nog niet verzakt. Uiteraard hopen we ook dat zij niet verzakken zullen, dat we niet meer met paradoxen geconfronteerd zullen worden; nog weer anders gezegd, nu meer vaktechnisch: dat onze nieuwe, axiomatische theorie consistent zal blijken; maar — zekerheid hieromtrent hebben we niet. Tot zo'n vijfendertig jaar geleden was men wat dat betreft overigens heel optimistisch; men hoopte dat een bewijs gevonden zou worden dat die axiomatische verzamelingenleer vrij is van innerlijke tegenspraken. In 1931 echter is die hoop de bodem ingeslagen. In dat jaar wist K. Gödel namelijk streng en onweerlegbaar aan te tonen dat zo'n bewijs (van het vrij zijn van tegenspraken der axiomatische verzamelingenleer) nooit gevonden zal worden: indien een theorie van het kaliber van de verzamelingenleer consistent is, dan is die consistentie onbewijsbaarl ^^) I

• • • Sinds 1931 is derhalve de situatie aldus; we hebben een theorie, rijk aan wiskundige inhoud en bruikbaarheid. Binnen deze theorie zijn we nog nooit op een paradox gestoten. Maar we hebben geen zekerheid dat zulks nooit geschieden zal, en zullen die zekerheid nooit kunnen verwerven, zullen het zonder die zekerheid moeten, stellen. We varen over een zee die blauw en glad zich uitstrekt zo ver ons oog reikt, maar weten niet of ergens dicht onder het wateroppervlak verraderlijk een rif ons wacht. Dat zullen we pas weten als we op zo n klip gestrand zijn. Desondanks varen we voort, want het alternatief — stil en roerloos te blijven liggen, vaart en vooruitgang stil te leggen — is immers onaanvaardbaar!

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen