1965 Geloof en Wetenschap : Orgaan van de Christelijke vereeniging van natuur- en geneeskundigen in Nederland - pagina 45

DE CONTINUUM-HYPOTHESE

25

p/q) blijkt met de verzameling der natuurlijke getallen geUjkmachtig.') Dit laatste resultaat is zeer wel geschikt om ons vertrouwen in Cantor's gelijkmachtigheidsbegrip te ondermijnen. Is dit begrip wel zinvol? Of zou het soms blijken, achteraf, dat alle oneindige verzamelingen gelijkmachtig zijn, zodat slechts in schijn het oneindige nader geanalyseerd wordt? Des te meer indruk maakt het op ons wanneer wij bij Cantor een bewijs aantreffen van de uitspraak: de getallenrij en de getallenrechte zijn niet gelijkmachtig. Anders gezegd: het is niet mogelijk de reële getallen te tellen. Onmiddellijk gevolg: er zijn inderdaad verschillende „ordes van oneindigheid"! In de verzamelingenleer voert men oneindige cardinaalgetallen in, oneindige aantallen. Uiteraard gebeurt zulks op zodanige wijze dat twee verzamelingen hetzelfde cardinaalgetal toegekend krijgen indien zij gelijkmachtig zijn, en ook alléén in dat geval. Het cardinaalgetal, toegevoegd aan de getallenrij (en aan alle verzamehngen, gelijkmachtig met de rij der natuurlijke getallen) zullen we in het verdere van dit betoog weergeven met A; voor het cardinaal getal van de getallenrechte schrijven we C. Bovenvermelde stelling van Cantor kan dan worden geformuleerd in de vorm: „A jz^ C". Wanneer men nog een grootte-ordening voor cardinaalgetallen invoert (zulks kan op zeer natuurlijke wijze geschieden ^)), kan men zelfs schrijven: „A < C". Cantor nu stuitte bij zijn onderzoekingen op de volgende vraag: zijn er nog cardinaalgetallen tussen A en C? Of, in een formulering die vrij is van cardinaalgetallen: „Is er een oneindige verzameling van reële getallen die noch met de rij der natuurlijke getallen, noch met het continuum van alle reële getallen gelijkmachtig is.". Dit probleem, beroemd als het continuum-probleem, wist Cantor niet op te lossen. Hij vermoedde dat het antwoord ontkennend moest luiden (de vermaarde continuum-hypothese). Deze hypothese van Cantor is nog immer niet weerlegd of bewezen, en tot voor kort scheen een definitieve afsluiting van het continuum-probleem nog ver en onbereikbaar. Zeer recente resultaten uit het terrein van het

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen