1965 Geloof en Wetenschap : Orgaan van de Christelijke vereeniging van natuur- en geneeskundigen in Nederland - pagina 52

32

P. C. BAAYEN

^1) Een sterk afwijkend stelsel is ontworpen door W. V. O. Quine, Mathematical Logic (Cambridge, Mass., 1958); zie ook van dezelfde auteur: Set theory and its logic (Cambridge, Mass., 1963). 1^) K. Gödel, Ueber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I (Monatshefte für Mathematik und Physik 38, 173-198). '^) K. Gödel, The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis (Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 24 (1938), 556-557). Een uitgewerkte versie verscheen in boekvorm: K Gödel, The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuumhypothesis with the axioms of set theory (Princeton, N.J., 1940). " ) L.c. pag. 15. Zie ook: K. Gödel, What is Cantor's Continuum problem? P. Benacerraf en H. Putnam, Philosophy of Mathematics (Englewood Cliffs, N.J., 1964), pp. 258-273. " ) P. J. Cohen, The independence of the continuum hypothesis. Part I (Proc, Nat. Acad. Sci. 50 (1963), 1143-1148); Part II (ibid. 51 (1964), 105-110). Het door Cohen geschetste bewijs is semantisch van opzet. Een volledig uitgewerkt syntactisch bewijs (berustend op de methoden van Cohen) werd gepubliceerd door P. Vopenka, Nezavisimost' Kontinuumgipotezy (Comm. Mat. Univ. Carolinae, Supplementum I, 1964). 10) De continuum-hypothese luidt: er is geen cardinaalgetal tussen A en C. Cohen bewees dat de uitspraken (1) er is precies één cardinaalgetal tussen A en C; (2) er zijn precies twee cardinaalgetallen tussen A en C;

(n) er zijn precies n cardinaalgetallen tussen A en C;

elk afzonderlijk relatief consistent zijn ten opzichte van het verdere axiomastelsel. Elk dezer uitspraken is een ontkenning van Cantor's hypothese (onderling zijn ze uiteraard contradictoir). Cohen bewees ook dat men zelfs mag aannemen dat er oneindig veel cardinaalgetallen liggen tussen A en C zonder paradoxen in het systeem te introduceren. Vgl. A. Mostowski, Widerspruchsfreiheit und Unabhangigkeit der Kontinuumhypothese (Elemente der Mathematik 19 (1964), 121-125). 1') Vgl. P. C. Baayen, Het keuze-axioma: zijn plaats en functie in de wiskunde (Rapport ZW1962-023, Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1962). !>*) Zie G. D. W. Berry en J. R. Myhill, On the ontological significance of the Löwenheim-Skolem Theorem (Symposium Academie Freedom, Logic, and Religion, Philadelphia 1953, 39-55 en 57-70). Vgl. voorts Barrau, I.e.; Fraenkel en Bar-Hillel, I.e.; ook: J. Wolff, Over het subjectieve in de wiskunde; inaugurele oratie Utrecht (Groningen, 1922).

SUMMARY The continuum hypothesis of G. Cantor asserts that there exists no set of real numbers which is non-denumerable and yet has a power strictly less than the power of the set of all reals. Recently it was shown that this hypothesis is independent from the usual axioms of set theory (P. J. Cohen 1963). The significance of this important result is explained and discussed in an informal way.

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen