1965 Geloof en Wetenschap : Orgaan van de Christelijke vereeniging van natuur- en geneeskundigen in Nederland - pagina 43

DE CONTINUUM-HYPOTHESE

23

blijkt ieder reëel getal afzonderlijk onderdak te vinden. Doch welk een gedrang, welk een opeenhoping! Op deze getaUenrechte is geen sprake meer van een discrete verdeling, van ruimte en distantie tussen naaste buren. Ja, de indiscretie gaat zelfs zo ver dat van naaste buren niet eens meer sprake is: tussen elk tweetal onderling verschillende punten van de lijn bevindt zich een continuum van andere punten.') Getallenrij en getallenrechte: twee oneindige verzamelingen die beide een fundamentele rol spelen in het drama der wiskunde. Zo verscheiden, en toch zo verbonden: immers, als we de reële getallen zien als de punten van een weg zonder begin of einddoel, dan zijn de natuurlijke getallen de mijlpalen die op vaste afstanden in de berm staan. In wiskundig jargon: de verzamelingen der natuurlijke getallen kan men als deelverzameling inbedden in de collectie der reële getallen. De natuurlijke getallen wonen in op de getallenrechte. Maar is het niet zonder meer duidelijk dat zij naast de hoofdbewoners — de onnatuurlijke reële getallen — ondanks hun oneindigheid in menigte slechts onbeduidend in aantal zijn? Is het niet duidelijk dat de oneindigheid van de getallenrechte van groter orde is dan die van de getallenrij? De laatst gestelde vragen smeken om precisering. Is het inderdaad mogelijk verschillende ordes van oneindigheid te onderscheiden? Kan men oneindige verzamelingen naar aantal onderscheiden? Het is de Duitse wiskundige G. Cantor geweest die als eerste op strenge en tevens overtuigende wijze inhoud gaf aan het begrip „even groot" voor oneindige verzamelingen. Inmiddels is zijn definitie gemeen goed geworden; er wordt over geschreven in zogenaamde „populair-wetenschappelijke" boeken over wiskunde, en hij is zelfs doorgedrongen in collecties van mathematische puzzles en spelen. ^) Het valt ons heden moeilijk om nog ten volle ons de grote originaliteit van Cantor's werk te realiseren. In de jaren na 1873 bouwde Cantor een geheel nieuwe en voor die dagen zeer revolutionaire theorie op: de Verzamelingenleer. •*) Werkend met willekeurige collecties (dus niet slechts met stelsels getallen, of puntenverzamelingen in de euklidische ruimte, zoals krommen en oppervlakken) onderzocht hij systematisch de mogelijkheden om uit gegeven verzamelingen nieuwe te construeren, en om steeds grotere

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen