1965 Geloof en Wetenschap : Orgaan van de Christelijke vereeniging van natuur- en geneeskundigen in Nederland - pagina 50

30

P. C. BAAYEN

waartoe men op grond van de tot dusverre bereikte resultaten gekomen is, namelijk het vermoeden, dat de gangbare axiomenstelsels, waarmede men de theorie der puntverzamelingen beschrijft, niet toereikend zijn om het continuumprobleem te beslissen. Men zou dan in dezelfde situatie verkeren, als in de meetkunde van Euclides, waarin bepaalde stellingen niet kunnen worden bewezen of weerlegd, zonder aan de postulaten van Euclides ook zijn beroemde vijfde postulaat, het parallelenaxioma, toe te voegen". Inmiddels is dit vermoeden realiteit gebleken. In december 1963 en januari 1964 verscheen een tweetal artikelen van de hand van de Amerikaan P. J. Cohen, getiteld „The independence of the continuum hypothesis" ^^). In deze artikelen schetst Cohen een bewijs van het volgende: indien de axiomatische verzamelingenleer (opgebouwd, zeg, met behulp van het axiomastelsel van Zermelo en Fraenkel), consistent is, vrij van tegenspraak, dan blijft de theorie consistent indien als extra axioma wordt toegevoegd de uitspraak: „Er bestaat een oneindige verzameling reële getallen die niet gelijkmachtig is met de rij der natuurlijke getallen en evenmin met de rechte van alle reële getallen" (Behalve deze algemene ontkenning van Cantor's hypothese beschouwde Cohen nog vele meer specifieke uitspraken die ontkenningen van deze hypothese vormen, en bewees hun relatieve consistentie '")). In conjunctie met Gödel's stelling uit 1940 betreffende de relatieve consistentie van de continuum-hypothese is hiermede inderdaad de onafhankelijkheid van Cantor's vermoeden aangetoond. Het continuum-probleem is onoplosbaar gebleken. Ook van een aantal andere openstaande problemen is door Cohen en door anderen die zijn methoden gebruikten de status opgehelderd. Zo bleek o.a. ook het keuze-axioma van Zermelo, dat in de moderne wiskunde een hoogst belangrijke rol speelt ^') onafhankelijk te zijn. Deze recente resultaten dringen ons tot een hernieuwde bezinning betreffende de grondslagen der wiskunde. Welke werkelijkheid beschrijft de wiskunde? Wanneer is een wiskundige uitspraak waar? Moeten we, waar het de continuum-hypothese betreft, ons scharen achter het platonische standpunt, ponerend dat wij deze hypothese weliswaar kunnen weerleggen noch bewijzen, maar dat desondanks

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen