1965 Geloof en Wetenschap : Orgaan van de Christelijke vereeniging van natuur- en geneeskundigen in Nederland - pagina 44

P. C. BAAYEN

24

verzamelingen op te bouwen. Daarbij kwam hij er ook toe, zoals reeds gezegd, om oneindige verzamelingen naar grootte te vergelijken. Cantor sprak af dat twee verzamelingen X en Y gelijkmachiig zullen heten (lees: dat X en Y zullen worden beschouwd als even grote verzamelingen, met evenveel elementen) indien er een ondubbelzinnig omkeerbare toevoeging bestaat tussen X en Y. In andere woorden: X en Y zijn gelijkmachtig indien er een afbeelding f bestaat van X op Y met de beide navolgende eigenschappen; (1) indien Xj en x^ twee verschillende objecten zijn, behorende tot de verzameling X, dan zijn hun beelden f(Xj) en f(x2) verschillende objecten uit Y; en (2) ieder object y, behorende tot Y, is beeld f(x) van object x uit X. In deze zin zijn bijvoorbeeld de even en de oneven natuurlijke gelen gelijk in aantal. 1 3

5

7

9

.

X ^

y

'^

4^

^

2

4

6

8

10

.

.

.

2n-l

.

.

.

^ . . .

.

2n

. . .

Een volkomen acceptabel resultaat! Veel verrassender, en bij eerste kennismaking nogal verontrustend, is het feit dat de verzameling der even natuurlijke getallen ook gelijkmachtig is met de verzameling van alle natuiurlijke getallen:: men beschouwe slechts de hieronder geschetste toevoeging: 1 I

2

3

4

5

.

V

Y

•

•

T

2

4

6

8

10

.

.

.

n

.

.

.

.

.

V

.

.

.

.

2n

.

Dit exotische verschijnsel — dat een verzameling X (in casu de natuurlijke getallen) gelijkmachtig is met één van zijn echte deelverzamelingen (in casu de collectie der even natuurlijke getallen) — blijkt zich voor te doen telkenmale wanneer X niet eindig is. Men went er op den duur wel aan. Veel verontrustender is het dat de gelijkmachtigheids-eigenschap geen respect blijkt te hebben voor het discrete karakter van de getallenrij: ook de verzameling van alle rationale getallen (de getallen die zich laten voorstellen als breuken

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen