1968 Geloof en Wetenschap : Orgaan van de Christelijke vereeniging van natuur- en geneeskundigen in Nederland - pagina 287

235

p. C. BAAYEN

zegd dat deze woorden een woord-inhoud hebben, dat zij iets benoemen; zouden we daarvan uit willen gaan dan komen we immers weer voor de impasse van onvoorstelbaar grote getallen die wij ons toch voorstellen moeten! De gelijkheid of ongelijkheid van natuurlijke getallen is dus een formele gelijkheid of een formeel verschil, gedefinieerd door de regels van de wiskundige taal. Het streven van de wiskunde is al sinds vóór EUCLIDES om het aantal expliciet geformuleerde conventies — vaak axioma's genoemd — zo klein mogelijk te houden, anders gezegd, om de wiskunde te axiomatiseren. Die wiskundige stelhng dat er geen grootste natuurlijk getal bestaat is een gevolg van zulke axioma's, of dat nu de axioma's van PEANO zijn, of een axioma-stelsel voor de verzamelingenleer, of welke axioma's dan ook. Het werkelijk formeel vastleggen van alle regels en conventies is echter nog een vrij recent ondernemen, een ondernemen dat bovendien tot mislukken gedoemd is. LEIBNIZ deed reeds pogingen te komen tot een „Characteristica Universalis" ^6) maar eigenlijk is de formalisering van de wiskunde en de daaraan ten grondslag liggende logica pas goed ingezet in de tweede helft van de vorige eeuw, met het werk van GEORGE BOOLE, GOTTLOB FREGE en anderen. 27) De volle formalisering van de wiskunde istxeigeijij (): tot mislukken gedoemd, hetgeen KURT GÖDEL in 1930 bewees. 2s) GÖDEL toonde namelijk aan dat reeds de elementaire getallentheorie niet volledig geaxiomatiseerd kan worden (aangenomen dat die theorie vrij is van innerlijke tegenspraken, hetgeen voor die theorie en te meer voor alle nog rijkere wiskundige theorieën een zaak is van puur vertrouwen). Dat wil niet zeggen dat het formaliseren zinloos zou zijn. Men kan en moet blijven streven naar het volmaakte, ook al is dat principieel onbereikbaar. Ook hier wordt overigens de deugd beloond: naast bewijzen van het onbewijsbaar èn onweerlegbaar zijn van verschillende uitspraken (zoals onlangs door PAUL J. COHEN voor het keuze-axioma en de continuum-hypothese) 29) door analyse van de taal waarin de betreffende wiskundige theorie (tezamen met zijn logica) gevat is, en waarbij bijvoorbeeld gebruik gemaakt wordt van het argument dat er slechts aftelbaar veel woorden van eindige lengte gevormd kunnen worden uit een eindig alfabet, en slechts aftelbaar veel zinnen van eindige lengte door combinatie van deze woorden, en dat er slechts aftelbaar veel bewijzen van eindige lengte opgebouwd kunnen worden met behulp van die zinnen, zouden we kunnen noemen nieuwe soms zeer diepe resultaten die bereikt zijn I

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen