VU Magazine 1990 - pagina 370

kundigen zoals ik, die moeten toezien hoe teveel mensen geloven dat dit echte wiskunde is. Er is echter niet eens een algemeen geaccepteerde definitie van de fractal. Als je geen theorema's bewijst heb je waarschijnlijk ook geen definities nodig. Fractal-geometrie heeft nog geen enkel probleem opgelost. Het is zelfs de vraag of het enig nieuw probleem heeft opgeworpen. Men maakt de plaatjes om meer over die plaatjes te leren, niet om diepere inzichten te verwerven. Dat die afbeeldingen een enkele goede wiskundige geïnspireerd heeft tot het bewijzen van waardevohe theorema's is in het beste geval toevalhg." In zijn vijf bladzijden tellende aanval trekt hij bovendien in twijfel hoe origineel Mandelbrots obscure wiskunde is. De wiskundige principes waren eerder al door anderen beschreven. "De koning draagt geen kleren", concludeert hij tenslotte bondig.

M

andelbrot reageert zakelijk op de verwijten. In dezelfde aflevering van het vakblad waarin de aantijgingen verschenen, weerlegt hij enkele details daarvan, en laat het daarbij. Hij beschouwt de discussie als een kennelijk onuitroeibare vorm van borrelpraat. Inderdaad past Krantz' polemiek in een zekere traditie. Maar is daarmee alles gezegd? En waarom klinkt de kritiek dan zolang door? "De feiten die deze man naar voren brengt zijn aUemaal onjuist, maar zijn emoties zijn heel reëel", laat Mandelbrot vanuit zijn standplaats New York ons telefonisch weten. Het tekent volgens hem het keerpunt waarop de wiskunde is aanbeland. "Bijna honderd jaar lang is wiskunde volstrekt geïsoleerd geweest van wat daarbuiten gebeurde. Het is een wereld op zichzelf geworden."

Fractals in een notedop Het wiskundige principe waarop de complexe en veelvormige fractalfiguren berusten, is even eenvoudig als elementair. Iteratie betekent in de wiskunde het eindeloos herhalen van steeds dezelfde bewerking, waarbij het antwoord telkens weer de beginwaarde is voor de volgende slag. De iteratie waarop fractals zijn gebaseerd luidt in formulevorm: x volgt uit x-kwadraat plus c. Daarbij is c een constante die je vrij kunt kiezen. Men kan deze iteratie uitvoeren met zogenaamde complexe getallen: getallen die zijn weer te geven als een punt in een vlak. Bij iedere iteratieslag maakt dat punt een sprongetje, als betrof het een mathematische vlo. Afhankelijk van het beginpunt kan de reeks naar oneindig of naar een evenwichtspunt gaan. Er blijkt echter een derde interessante mogelijkheid: de vicieuze cirkel. De reeks blijft dan circuleren; de vlo springt onvermoeibaar rond. Kiezen we voor c een kleine waarde dan maakt de reeks een omloop langs een vast pad: een gesloten curve. Naarmate c groter wordt, wordt het beeld steeds grilliger tot, bij het overschrijden van een bepaalde grens, de figuur lijkt te exploderen en tot stof vergaat. De wiskunde verliest hier haar wetmatigheden en gaat chaotisch gedrag vertonen alsof een kookpunt is bereikt. Alhoewel de basisformule heel eenvoudig is, leidt de eindeloze herhaling daarvan in het iteratieproces tot een resultaat dat men niet meer kan analyseren. Dat betekent echter niet dat er voorbij dat kritische punt geen wiskunde meer bestaat. Al experimenterend ontdekte Mandelbrot figuren die getuigden van een onnaspeurbare ordening die van een nieuwe soort leek te zijn. Wie de platen bekijkt krijgt onwillekeurig associaties met planten en kristallen, soms zelfs met bergen en wolken. Men kan zich over die patronen verbazen en er de gelijkenis in zien. Maar wat dan? Wat als we niet kunnen analyseren wat we zien; als er geen definities, axioma's en lemma's meer zijn? Is er dan nog wel sprake van wiskunde? D

16

De oorzaak van dat isolement is volgens Mandelbrot een kip-of-eikwestie. Door zich van de buitenwereld af te sluiten heeft de verbeelding de wiskunde verlaten. En zonder die verbeelding mist men de aansluiting tot de werkelijkheid. Deze koers wordt nu verlaten, gelooft Mandelbrot: "Niemand kan de ideologie van de afzondering nog verdedigen." Het isolationisme in de wiskunde is een betrekkelijk recent verschijnsel, stelt hij. Tot de twintigste eeuw waren wiskunde en natuurwetenschappen nauw met elkaar verbonden: "Vanuit waarnemingen kwamen vermoedens op; problemen die om een oplossing vroegen. Het maakte niet uit waar de vragen vandaan kwamen, zolang ze maar interessant waren. Toen aan het begin van deze eeuw de bron opdroogde die de natuurkundige intuïtie verschafte, ontdekte men dat de wiskunde in zichzelf kon voortbestaan, zonder enige invloed van buitenaf De vragen werden theoretischer, en de antwoorden riepen weer nieuwe theoretische vragen op. Wiskundigen waren niet langer geïnteresseerd in vragen vanuit de buitenwereld."

K

ritiek op de fractal-theorie als zou deze neerkomen op navelstaren door alleen op zichzelf betrekking te hebben, wijst Mandelbrot daarom van de hand: "Niet ik maar juist zij zijn in zichzelf gekeerd." Dat refereren aan zichzelf heeft de wiskunde tot een volledig gesloten theoretische constructie gemaakt, waarin het moeilijk doordringen is. Mandelbrot: "Het meeste wat wiskundigen nu doen, vind ik volstrekt onbegrijpelijk. Niet omdat ik onnozel ben - ik ben hoogleraar wiskunde in Yale - maar omdat wiskundigen op geen enkele manier duidelijk willen maken waar ze mee bezig zijn, zelfs niet aan collega-wiskundigen. Ze zochten de afzondering en vonden die. En nu klagen ze ook nog over bezuinigingen op hun vakgebied." Mandelbrot: "Met fractals kun je het alledaagse aanpakken. Wat is de vorm van een berg? Hoe ziet een wolk eruit? Ik kijk naar figuren, ik vergelijk ze, en verander ze om te zien wat er gebeurt. Dat is eigenlijk de methode van natuurhistorici uit VU-MAGAZINE—OKTOBER 1990

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen