Het afbeelden in de wiskunde - pagina 11

10 twee afbeeldingen

w a s te v e r s t a a n .

Natuurlijk

bezitten

twee

afbeeldingen slechts een product, indien de beeldverzameling van de eerste, de afgebeelde van de tweede is. Is nu per definitie een groep een verzameling, w a a r v o o r een aan b e p a a l d e eigenschappen voldoende vermenigvuldiging is gedefinieerd, zoodat a a n elk g e ­ ordend

tweetal elementen

een derde element

der

verzameling,

g e n a a m d het product, is toegevoegd, dan kan een aantal afbeel­ dingen slechts een groep vormen, indien alle exemplaren zelfafbeeldingen zijn. Voorbeelden van groepen hebben wij in de v e r z a m e ­ ling aller eeneenduidige zelfafbeeldingen en in die aller topologische zelfafbeeldingen

eener gegeven verzameling, terwijl de juist g e ­

noemde verschuivingen van een rechte lijn in zichzelf een eenledige continue groep o p b o u w e n . Wij bespreken in de derde plaats enkele toepassingen van het afbeelden en beginnen met er op te wijzen, d a t in de stereometrie uitsluitend eigenschappen van oppervlakken en lichamen worden o p g e s p o o r d , die behouden blijven, w a n n e e r de beschouwde figuren op een of a n d e r e wijze in de ruimte w o r d e n verplaatst. Breiden wij alle mogelijke verplaatsingen

van een oppervlak of

lichaam

in de ruimte uit tot bewegingen van de geheele euclidische drie­ dimensionale

ruimte

in

zichzelf, dan o n t s t a a t een

verzameling

zelfafbeeldingen, die een groep is. T o e p a s s e n van een e x e m p l a a r dezer groep geeft beeldfiguren, die met hun oorspronkelijk

alle

stereometrische eigenschappen gemeen hebben. Deze e i g e n s c h a p ­ pen zijn d u s b e s t a n d tegen of invariant voor de groep van zelf­ afbeeldingen of, zooals men gewoonlijk zegt,

transformatiegroep.

Het blijkt, d a t de stereometrie in wezen niet a n d e r s is dan de invariantentheorie voor een b e p a a l d e de vorige omvattende groep. Dit is van groot belang, w a n t hebben twee congruente of stereometrisch aequivalente figuren eigenschappen,

dan

kan

met

volkomen dezelfde de

worden volstaan. Het geoorloofd

bestudeering zijn van een

stereometrische van

een

ervan

overeenkomstige

beperking is voor elke meetkunde een vereischte. Immers zijn na de bestudeering van één der figuren

g e n a a m d e verzamelingen, w a a r o p

de meetkunde betrekking heeft niet tevens de bijzonderheden van een groot aantal andere bekend, dan is de geheele studie een vrij onbegonnen werk. Derhalve zal elke meetkunde een middel moeten bezitten om van twee figuren na te g a a n of zij op het ingenomen s t a n d p u n t als identiek zijn te beschouwen. Nu is vergelijken van

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen