1959 Geloof en Wetenschap : Orgaan van de Christelijke vereeniging van natuur- en geneeskundigen in Nederland - pagina 98

74

J. BLOK

haar theorieën en uitspraken betrouwbaar zijn. Wanneer kan men zeggen dat een afdoend bewijs gegeven is? Wat deze vragen betreft is menig beoefenaar van de natuurwetenschappen wel eens jaloers op de wiskundige. Bij hem toch ligt bij alle verscheidenheid van inzicht de structuur van het bewijs veel scherper vast. Hij kan bijv. op meetkundig gebied uitgaan van een aantal goed gekozen veronderstellingen die hij tot axioma's verklaart. Uit de aard der zaak moeten deze aan bepaalde eisen voldoen; op zijn minst moeten zij elkaar niet tegenspreken en bij voorkeur moeten ze onafhankelijk van elkaar zijn. Uitgaande van deze axioma's kan nu de wiskundige met behulp van logische operaties tot uitspraken komen. Indien het spel met de logische operaties goed gespeeld is, wordt de resulterende uitspraak als bewezen beschouwd. Oppervlakkig gezien schijnt hiermee de functie van het bewijs in de wiskunde en tevens de waarde van het bewijs scherp vast gelegd te zijn en dit oppervlakkige inzicht kan de beoefenaar der natuurwetenschappen tot jaloezie verleiden. Gaat men echter dieper graven, dan neemt deze afgunst snel af; dan rijzen er ook voor de wiskundige allerlei fundamentele problemen die met de vraag naar de waarde van het bewijs samenhangen. Die problemen hebben zowel betrekking op de axioma's als op de logische operaties. De axioma's dienen zo mogelijk onafhankelijk van elkaar te zijn, maar mogen in geen geval met elkaar strijden. Dit laatste zal dan bewezen moeten worden, maar de bewijsmiddelen zullen moeten liggen buiten het gebied van de te vormen theorie. Is zo'n bewijs nu mogelijk? Men kan niet-strijdigheid van meetkundige axioma's wel bewijzen, als men zijn toevlucht neemt tot de rekenkunde, maar daarmee zijn de moeilijkheden verschoven van de meetkunde naar de rekenkunde. En de vraag kan dan gesteld worden, of men de wiskunde als geheel ook kan bouwen op axioma's waarvan bewezen is dat zij zonder tegenspraak zijn, of dat men wellicht uit zal moeten gaan van het intuïtieve inzicht van de mens in wiskundige relaties? Een vraag waarop geheel verschillende antwoorden worden gegeven. Een andere groep van vragen betreft de methode gebruikt bij het bewijzen van wiskundige uitspraken, het hanteren van de logische operaties. Een vraag is hier bijv. welke operaties toegepast mogen worden, wil het bewijs van de stelling waarde hebben. En ook hier is geen eenstemmigheid, waarbij slechts Brouwer's kritiek op het principe van het uitgesloten derde genoemd behoeft te worden. U zult van mij niet verwachten dat ik als fysicus mij zal wagen op dit gebied van de grondslagen van de wiskunde; de schroom waarmee

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen