Benaderingsproblemen bij irrationele getallen - pagina 9

9 Z o o eenvoudig is het niet voor de cirkelquadratuur. Lambert had in 1766 de irrationaliteit van het getal a en van het getal e, de basis van het stelsel der natuurlijke logarith? men, bewezen. De vraag is nu: bezitten deze getallen het speciaal algebraïsch karakter, noodig voor hun constructie met passer en liniaal, of zijn ze misschien in 't geheel niet algebraïsch? Deze vraag werd brandend toen Liouville in 1850 met behulp van reeksen aantoonde, dat er inderdaad getallen bestaan, die niet algebraïsch zijn; men noemt deze transcen? dcnt. Het gelukte in 1873 Hermite te Parijs, aan te toonen, dat het getal e, de basis van het stelsel der natuurlijke loga? rithmen, transcendent is en het oeroude probleem der cirkel? quadratuur werd in 1882 opgelost, toen de Duitsche hoog? leeraar Lindemann, voortbouwend op het geniale werk van Hermite aantoonde, dat ook n een transcendent getal is. Hiermede was zelfs bewezen, dat iedere constructie van n, die op algebraïsche operaties berust, onmogelijk is. Wij vragen ons nu af, hoe scherp deze getallen e en n x ten hoogste met een rationaal getal - te benaderen zijn. Deze vraag is in 1928 door J. Popken te Groningen beantwoord. Uit Popken's publicaties blijkt, dat de kritieke waarde van den exponent, in het zooeven door ons besproken bena? deringsprobleem, bij het getal e de waarde 2 bezit. Wat voor algebraïsche getallen van den graad n 2= 3 nog niet is opge? lost, is dus bekend van het transcendente getal e. Popken's resultaat voor het getal is veel minder scherp: dit ligt in den aard van het bewijs van Lindemann, waaraan Popken zijn gedachtengang ontleende. Ook voor andere transcendente getallen is onderzocht, x hoe goed ze ten hoogste door een rationaal getal - zijn te benaderen. Z o o vond Mordoukhay?Boltowskoy voor de logarithme van een willekeurig positief algebraïsch getal 1 een resultaat, in scherpte overeenkomend met dat van Popken voor het getal n. 71

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen