Het afbeelden in de wiskunde - pagina 16

15 gewoonlijk met een oneindig verre rechte, doch met een oneindig ver punt af, d a n verkrijgen wij een nieuwe tweede

hoofdfiguur,

die den s a m e n h a n g van het boloppervlak heeft en d a a r v a n

het

zonder uitzondering o m k e e r b a a r eenduidige beeld kan zijn. O o k is het mogelijk a a n het boloppervlak

den s a m e n h a n g

van

het

euclidische vlak te geven en wel door d a a r a a n het centrum v a n projectie te onttrekken. Een meer s p r e k e n d voorbeeld bieden de eeneenduidige

afbeel­

dingen der lijnelementen van een projectief plat vlak op de punten van een lineaire driedimensionale ruimte. Die, waarbij zonder uit­ zondering aan elk lijnelement, d a t is de figuur gevormd door een (eventueel oneindig ver) p u n t en een d a a r door heen g a a n d e rechte, (die eventueel met de oneindig verre rechte kan s a m e n v a l l e n ) , een punt der ruimte o m k e e r b a a r eenduidig is toegevoegd, bezitten geen eenvoudig type. Een zoodanige afbeelding blijkt echter mogelijk, n a d a t a a n de ruimte een verzameling punten is toegevoegd. Dit kan o.a. zóó geschieden, d a t de ruimte d a a r d o o r den s a m e n h a n g verkrijgt van een in een lineaire zevendimensionale ruimte gelegen driedimensionale variëteit van den zesden g r a a d . De projectieve meetkunde der lijnelementen is d a a r m e d e in correspondentie

ge­

bracht met een C r e m o n a s c h e ruimtemeetkunde, terwijl de projec­ tieve transformatiegroep is o v e r g e g a a n in een g e m e n g d e groep van Cremonasche p u n t t r a n s f o r m a t i e s met acht p a r a m e t e r s . G r o o t e analogie met de zoo juist besprokene, vertoont de b e ­ kende door Klein ontdekte afbeelding van de rechten eener d r i e ­ dimensionale projectieve ruimte op de punten van een vierdimen­ sionale variëteit van den tweeden g r a a d gelegen in een vijfdimensionale ruimte. Bij deze afbeelding g a a t de projectieve groep der driedimensionale ruimte over in de o n d e r g r o e p van die der vijfdimensionale ruimte, gevormd door de projectieve transformaties, die de variëteit invariant laten. Tenslotte vermelden wij nog een der afbeeldingen

van

deze

soort, die in de hoogere meetkunde w e g e n s de groote v r u c h t b a a r ­ heid hunner t o e p a s s i n g den n a a m

overdrachtsprincipes

hebben

verkregen. Wij behandelen als voorbeeld het principe van Hesse, dat aldus is te beschrijven: L a a t met iedere rechte van een p r o ­ jectief plat vlak correspondeeren het p u n t e n p a a r , w a a r i n zij een vaste kegelsnede snijdt en projecteer d a a r n a deze kegelsnede uit een h a r e r punten op een v a s t e rechte. D a n worden de niet georien-

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen