Het afbeelden in de wiskunde - pagina 17

16 teerde p u n t e n p a r e n der vaste rechte zonder uitzondering omkeer­ b a a r eenduidig afgebeeld op de rechten van het projectieve vlak, terwijl de punten d a a r v a n als beelden bezitten de involuties op de v a s t e rechte. D e z e afbeelding doet de fundamenteele stelling, d a t door twee punten steeds één rechte is b e p a a l d , o v e r g a a n in de eveneens

fundamenteele,

dat

twee

involuties

steeds

een

paar

gemeen hebben. Uit het feit, d a t een eigenschap in de eene meet­ kunde belangrijk is, volgt echter niet noodzakelijk, d a t de c o r r e s pondeerende eigenschap in de andere dit ook is. Zoo worden o.a. de stellingen van Pascal en Brianchon getransformeerd in andere, die vrijwel zonder beteekenis zijn. Wij beëindigen hiermede de bespreking van toepassingen v a n zuiver meetkundigen a a r d en geven nog enkele voorbeelden van gevallen,

waarin

verzamelingen

van ongelijksoortige

elementen

optreden. De zooeven g e n o e m d e afbeelding van lijnelementen w a s ontleend aan een publicatie van Beek, w a a r a a n ten g r o n d s l a g lagen twee afbeeldingen

door Lie geconstrueerd

theorie der differentiaalvergelijkingen.

ten behoeve van

de

Deze theorie heeft wel vele

a a n k n o o p i n g s p u n t e n met meetkundige problemen, doch is zuiver analytisch te behandelen en de afbeeldingen van Lie dienen vooral om enkele uitkomsten te verduidelijken. Zij stelden Poincaré in s t a a t verschillende moeilijkheden met betrekking tot de singuliere integralen van gewone vergelijkingen in x en y van de eerste orde toe te lichten, hetgeen voor de partiëele

differentiaalvergelijkingen

in x, y en z van de eerste orde mogelijk werd door een afbeelding op een vijfdimensionale ruimte afkomstig van De Vries en S c h a a k e . D a a r volgens de gegeven algemeene definitie iedere transformatie in wezen een afbeelding is, w o r d t van afbeelden niet alleen ter toe­ lichting, doch dikwijls ook ter oplossing van een

differentiaalver­

gelijking gebruik g e m a a k t . N a a r het terrein van de functietheorie begeven wij ons via een afbeelding van G a u s s . Wij laten met ieder complex getal JC +

iy

d a t p u n t van een euclidisch plat vlak correspondeeren, d a t ten opzichte van een vast rechthoekig coördinatenstelsel

de c o ö r d i ­

naten x en y heeft en voegen omgekeerd aan ieder punt met coör­ dinaten x, y toe het complexe getal x +

iy. D a a r m e d e is een af­

beelding van de complexe getallen op de punten van het vlak gedefinieerd,

die zonder uitzondering o m k e e r b a a r

eenduidig

is,

indien wij het getal oneindig niet toelaten. Doen wij dit wel, dan

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen