1970 Geloof en Wetenschap : Orgaan van de Christelijke vereeniging van natuur- en geneeskundigen in Nederland - pagina 67

p . C. BAAYEN

47

verduidelijking en consolidatie van het wereldbeeld) dat in verband gebracht wordt met barokke plafondschilderingen, quietisme en pietisme. Daarna, in hoofdstuk XXVII, wil vdB dieper inzicht geven in het spectrum der (al of niet euklidische) meetkunden, zich daarbij beperkend tot het 1-dimensionale geval. Als didactisch hulpmiddel wordt intensief gebruik gemaakt van een reproductie van een detail uit Willink's schilderij „Simeon de zuilenheilige", waarin een fraai perspectivische lijn (stoeprand) voorkomt. D e gedachtengang van Klein is ongeveer d e volgende. De projectieve meetkunde is, in zekere zin, de studie van al w a t invariant is onder projectieve transformaties. Als men deze projectieve bewegingsgroep kleiner maakt (er een ondergroep van neemt) dan valt te verwachten dat het aantal invarianten toeneemt, dus dat de meetk u n d e aan structuur wint. Voortbouwend op werk van Cayley laat Klein nu zien dat men de metrische meetkunden kan verkrijgen uit de projectieve, door uit de projectieve bewegingsgroep slechts die bewegingen te gebruiken, die een vast quadriek invariant laten. In het 1-dimensionale geval, waar w e d e projectieve ruimte als rechte (puntenreeks) kunnen representeren, is een quadriek niets anders d a n een puntenpaar. N u zijn er in principe drie soorten puntenparen: twee onderling verschillende reële punten, twee samenvallende reële p u n t e n of t w e e onderling verschillende niet-reële (complexe) punten. D e groep der projectieve transformaties die de beide punten van het p u n t e n p a a r invariant laten levert ons in deze gevallen respectievelijk een hyperbolische, een euklidische of een elliptische meetkunde. D e metriek wordt verkregen door een vaste beweging (niet de identieke) aan te wijzen, en iedere verplaatsing met b e h u l p van deze beweging d e maat 1 toe te kennen. I n het hyperbolische geval, met t w e e verschillende reële punten, kiest men één van de t w e e open intervallen waarin de projectieve rechte uiteenvalt 9) als hyperbolische rechte, substraat voor de hyperbolische meetkunde; d e twee invariante punten horen niet tot d e

") Een topologisch model van de projectieve rechte verkrijgt men door uit te gaan van een cirkel, en daarop steeds diametraal tegenover elkaar gelegen punten te identificeren. Laat men van een proj ectieve rechte twee punten weg, dan valt hij — net als bij een cirkel — in twee samenhangende stukken uiteen, en niet in drie, zoals bij een „gewone" euklidische rechte het geval zou zijn.

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen