1970 Geloof en Wetenschap : Orgaan van de Christelijke vereeniging van natuur- en geneeskundigen in Nederland - pagina 63

p. C. BAA YEN

43

vanzelfsprekende waarheid, hij speelt nl. met ontkenningen ervan [13], Velen na Euklides zagen het postulaat als wel waar, maar vermoedelijk overbodig, en probeerden het (zonder succes) uit de overige postulaten af te leiden. In 1733 trachtte de Jezuïet Saccheri dit eveneens, en wel door een bewijs uit het ongerijmde: uit een ontkenning van het postulaat trachtte hij een tegenspraak af te leiden. Nu kan het parallellen-postulaat op twee manieren ontkend worden: door aan te nemen dat door een punt buiten een rechte soms meerdere parallellen lopen, of door aan te nemen dat door zo'n punt geen parallel gaat. Na Saccheri bleek elk van deze mogelijkheden consistent te zijn met de overige postulaten van Euklides, d.w.z. daarmee niet in tegenspraak. Voor de eerste ontkenningsmogelijkheid werd die consistentie aangetoond door Gausz, Lobatsjewskii, Bolyai en anderen, hetgeen voerde tot de hyperbolische meetkunde 5). Van de tweede ontkenningsmogelijkheid wist Saccheri de ongerijmdheid aan te tonen door stilzwijgend aan te nemen (evenals Euklides voor hem) dat een rechte een vlak in twee delen splitst; verwerpt men deze stilzwijgende aanname, dan blijkt ook het ontbreken van evenwijdige lijnen mogelijk, zoals Riemann bewees (de bijbehorende meetkunde wordt elliptisch 6) genoemd). In ieder geval volgt dat het parallellenpostulaat onafhankelijk is, niet herleidbaar uit de overige postulaten ''•). Bij zijn bespreking van deze zaken maakt vdB fouten (zie bv. het malle betoog over de invariantie van de dubbelverhouding [MM 28-30], en ook de „verklaring" van Saccheri's „fout" bij de hypothese van de stompe hoek, waar vdB in figuur 63 [MM 115] duidelijk in strijd komt met het — door Saccheri uiteraard geaccepteerde — eerste postulaat van Euklides: hier en elders blijkt vdB de elliptische meetkunde met de dubbel-elliptische te verwarren). Er zijn ook eigenaardigheden. Dat vdB de meetkundige op diens rug op een divan laat liggen, in zijn rechthoekige kamer, opdat hij constatere dat die vier „rechte" hoeken van het plafond elk meer dan 90 tellen, valt van

) Bij Saccheri en in MM aangeduid als de meetkunde van de scherpe hoek. ^) Bij Saccheri en in MM aangeduid als de meetkunde van de stompe hoek. ') Een uitstekende en zeer leesbare behandeling van de niet-euklidische meetkunde en de daarmee verbonden problemen is te vinden in het boek „Wijsgerige ruimteleer" van E. W. Beth [1]; zie ook [2]). Ik heb de indruk dat vdB de werken van E. W. Beth niet kent, tot zijn schade!

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen