Het afbeelden in de wiskunde - pagina 13

12 continue, hetgeen P e a n o in s t a a t stelde een kromme te construeeren, die een geheel vierkant opvult. De oogenschijnlijk figuren

fundamenteele

eigenschap

eerst voor eeneenduidige, o m k e e r b a a r afbeeldingen

voor

van het aantal dimensies is continue

of

topologische

invariant.

De verzameling aller topologische

afbeeldingen,

waartoe

wij

hiermede gekomen zijn, is een tweede voorbeeld van een bruikbare verzameling. In de topologie, d a t is de meetkunde, die de eigenschappen van topologisch afbeeldbare figuren bespreekt, voor

topologische afbeelding,

heeft

welke

invariant

het dimensiegetal

niet

zijn zoo

groote beteekenis als het cardinaalgetal in de vorige meetkunde. Gelijkheid van dimensie w a a r b o r g t geen topologische aequivalentie of homomorphie en kan g e p a a r d g a a n met het bezit van

ver-

schillende topologische eigenschappen. Boloppervlak en r i n g o p p e r vlak zijn beide tweedimensionaal, doch kunnen niet eeneenduidig omkeerbaar

continu

op

elkaar

w o r d e n afgebeeld, zooals blijkt

uit het onderscheiden a a n t a l klassen van topologische

zelfafbeel-

dingen, d a t , n a a r wij mededeelden, op elk bestaat. Dit aantal is nl. voor twee h o m o m o r p h e figuren even groot en zal voor elke figuur, die topologisch beeld van het boloppervlak kan wezen, twee zijn. Wij merken n o g op, d a t homomorphie met een

bepaalde

figuur een eigenschap is, die bestand is tegen topologische afbeelding, z o o d a t evengoed als het vaststellen van

gelijkmachtigheid

van twee figuren in de vorige, het a a n t o o n e n van homomorphie in deze meetkunde een belangrijk onderdeel zal vormen. Als derde voorbeeld

kiezen wij een verzameling

bij de tweede hoofdindeeling nl. de g r o e p aller

voorkomend

zelfafbeeldingen

van een gegeven figuur. De bijbehoorende meetkunde

bespreekt

van één enkele hoofdfiguur alle eigenschappen, d a a r deze vanzelfsprekend

bij

elke

zelfafbeeldïng behouden blijven. Figuren, die

een deel van de hoofdfiguur vormen, zullen in het algemeen weinig eigenschappen bezitten, die invariant zijn voor de geheele groep en d u s in de betrokken meetkunde thuis behooren. W e n s c h t men de bijzonderheden van de hoofdfiguur met al h a a r o n d e r d e d e n volledig te kennen, dan kan men beginnen met van de groep van zelfafbeeldingen

alle deelverzamelingen

te bepalen, w a a r v o o r

de

boven a a n de geheele verzameling gestelde eischen zijn vervuld. Deze deelverzamelingen zijn opnieuw groepen van zelfafbeeldingen

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen