1970 Geloof en Wetenschap : Orgaan van de Christelijke vereeniging van natuur- en geneeskundigen in Nederland - pagina 68

48

METABLETICA DER MATERIE

rechte, maar spelen wel een rol als „punten in het oneindige". Zo is er bij de euklidische rechte één (niet op die rechte liggend) oneindig ver punt, terwijl d e elliptische rechte géén oneindig verre p u n t e n heeft. Een consequentie is dat er op de elliptische rechte geen willekeurig grote maten bestaan: de totale rechte heeft een eindige maat. Klein verduidelijkt dit, in eerste instantie ongeloofwaardig, feit door er op te wijzen dat een 1-dimensionale projectieve ruimte ook gerepresenteerd kan worden als stralenwaaier (binnen het projectieve vlak is die het duale van een puntenreeks). Echter de onderlinge afwijking van t w e e stralen plegen we te meten door h u n hoek, en inderdaad zijn hoeken invariant onder rotaties, dat is, onder alle projectieve transformaties die twee gegeven toegevoegde complexe stralen onberoerd laten. Welnu, bij hoeken zijn wij allang gewend dat hun maat ten hoogste 360 kan bedragen! W a t komt hiervan nu over in het betoog van vdB? Niets! Helemaal niets! E e n soort hocuspocus, waarin logarithmen de rol van deus ex machina toebedeeld krijgen, puntenreeksen als a, ka, k-a, . . . volkomen zonder motief uit d e goochelaarshoed worden getoverd lo), waarin het feit dat er in het geval met t w e e invariante reële p u n t e n twee keuzemogelijkheden zijn voor d e metrische rechte als argument dient hier over een hyperbolische meetkunde t e s p r e k e n . . . omdat een hyperbool twee takken heeft!! [MM 44]. Erger nog, beide stukken stopt vdB in zijn hyperbolische rechte, zodat deze onsamenhangend w o r d t . . . E n wat te denken van een passage als de volgende: „de afstand RS is niet reëel, is imaginair, bezit de factor i = ^/—l, wat d e algebraïsche uitdrukking zal zijn voor het meetkundige feit dat d e lengte RS een oneindige „kuil" bezit, te weten in Qoo. Hoe de kuil te overwinnen? Door hem dicht te werpen. Wiskundig wordt dit bereikt door [ . . . ] de afstand RS met i = V ~ l te vermenigvuldigen" [MM 415-416]. Vervolgens legt vdB verbanden tussen Riemann's rede (over de ') Bij Klein komt een dergelijke puntenrij op volkomen natuurlijke wijze voor den dag, en wel bij de bespreking van de hyperbolische rechte. De punten van de projectieve rechte weergevend in homogene coördinaten, kiest hij als invariante punten O en cc. De enige projectieve transformaties f die deze beide punten op hun plaats laten zijn die van het type f(x) = constante .x. Kiest een vaste constante k 7^ O, en verklaar de beweging f (x) = kx als maatheiend. Dan' hebben de punten a en f (a) = ka afstand 1; evenzo ka en f (ka) = k^a, of k—^a en f (k—^a) = a. De rij . . . k—^a, k—^a, a, ka, k-a, k^a, . . . is dus aequidistant.

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen