Existentiebewijzen in de wiskunde - pagina 27

25 en is met het oog op de immanente eigenschappen van het systeem zelf, van weinig belang. Waarin ligt dan de waarde van het systeem, als men afziet van bedoelde toepassingsmogelijkheid? Wel, wat overblijft om zich op te beroemen, is de logische onaantastbaarheid van het systeem: de zekerheid dat men daarin nooit tot een tegenspraak zal komen. Daar men echter voortdurend, over de objecten van het systeem sprekend, zegt, dat deze bestaan, ligt het voor de hand, dat waar als grond voor dit bestaan niets anders is overgebleven dan de zekerheid, dat de wijze, waarop het betreffende object in de theorie is ingevoerd, daar niet tot een contradictie kan leiden, men per definitie gaat vaststellen: bestaan is identiek aan niet-strijdigheid met de axiomata. Dit is het standpunt. Maar nu het probleem! Immers, waarop grondt de formalist zijn zekerheid, dat de axiomata zijner meetkunde onderling tegenspraakloos zijn? Op het standpunt van Kant, of van den empirist moge die tegenspraakloosheid in den aard der zaak liggen, maar hoe, wanneer de axiomata zijn te beschouwen als willekeurig gekozen praemissen? Het is duidelijk, dat dan de tegenspraakloosheid een bewijs behoeft, en het ligt vrijwel voor de hand, dat men daarbij wel een beroep zal moeten doen op middelen, die buiten het systeem zelve zijn gelegen. Dit bewijs gelukte Hilbert op eenvoudige wijze, door de rekenkunde te hulp te roepen. Hoe dit mogelijk is, heb ik bij de bespreking van de arithmetiseering der meetkunde reeds aangeduid. W a t eigenlijk gebeurt, kan men ook zoo omschrijven, dat Huberts axiomatisch systeem wordt ,,gevuld" door rekenkundige objecten. Indien nu maar de onaantastbaarheid van de rekenkunde vaststaat, is ook die van de meetkunde gewaarborgd en dit verklaart, dat ook de intuïtionist groote waarde hecht aan axiomatische systemen in den trant van Hilbert, voor zoover zij zich rekenkundig laten ,,vullen": voor den intuïtionist is de rekenkunde immers betrouwbaar en ontleent het systeem aan haar de waarde. Niet aldus voor den formalist pur sang. Bij zijn beroep op de rekenkunde is het er hem niet zoozeer om te doen, om de meetkunde te arithmetiseeren, dan wel om het eerste het beste middel aan te grijpen, waarmee hij de tegenspraakloosheid van zijn systeem kan bewijzen. Echter ook dat middel zelve dient kritisch bekeken. ,,Wat in de wiskunde bewezen kan worden", zegt Hilbert (in navolging van Dedekind i^*')), ,,mag niet zonder bewijs aanvaard" en hij ziet niet in, waarom de leer der natuurlijke getallen hier een uitzondering zou moeten vormen ^^^). De methode nu, die aangegrepen wordt ter grondvesting van de rekenkunde, is, het ligt voor de hand, de formalistisch-axiomatische. En wij krijgen hier dus alles weer terug, wat bij de meetkunde reeds werd besproken: de definitie van bestaan als contradictieloosheid der

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen