1970 Geloof en Wetenschap : Orgaan van de Christelijke vereeniging van natuur- en geneeskundigen in Nederland - pagina 196

156

WISKUNDE EN MAATSCHAPPELIJKE TENDENSEN

om voor éen van die manieren te kiezen Wel kunnen we zeggen dat, als men m het aksiomasysteem ZF het zgn aksioma van de machtsverzamelmg vervangt door het bovenstaande, en het zgn keuzeaksioma door het „aftelbare" keuzeaksioma (als de machtigheid van de verzameling y niet kleiner is dan de machtigheid « van de verzameling der natuurlijke getallen, dan bevat PQ (y) een element waarvan de machtigheid groter of gelijk is aan a), dan is met het zo ontstane systeem nagenoeg de gehele klassieke analyse afleidbaar Men kan van dit systeem op de gebruikelijke manier bewijzen dat het oneindigheidsaksioma onafhankelijk is van de andere aksioma's, maar men kan ook de onafhankelijkheid van het specialisatieaksiom,a, aantonen. Met gebruikmaking van Cohens methode van forang toont men ook de konsistentie en de onafhankelijkheid van het gemodificeerde keuzeaksioma aan (mededeling van G. Takeuti); een bewijs hiervan is echter nog nooit uitgeschreven. Overigens is het van belang op te merken dat Cohens resultaten via een mterpietatie binnen de arithmetiek ook mtuitionisties houdbaar zijn (mededeling Dr. J. J. de Jongh) Wat met mogelijk IS, IS verzamelingen te definiëren die een machtigheid bezitten groter dan de machtigheid van het kontmuum (zoals trouwens te verwachten was): men kan slechts kardinaalgetallen uit de tweede getalklasse definiëren. Ook kan men met Von Neumanns definitie van kardinaalgetal geven en daarmee de (al of met gegeneraliseerde) kontmuumhypothese formuleren. Hierdoor zou slechts de kontmuumhypothese in de oorscpronkehjke zm gehandhaafd kunnen blijven. Het is van belang op te merken dat ook Cohens resultaten geen uitsluitsel geven inzake Cantors oorspronkelijke (geometriese) kontmuumprobleem. Alles bij elkaar genomen krijgen we dus langs deze weg een verzamelmgsleer welke staat tussen enerzijds de konstruktivistiese verzamelmgsleren en anderzijds de Cantoristiese. Na deze kleine techniese uiteenzetting keren w e nu nog eens terug naar het vraagstuk dat we aan het begin van ons verhaal aanroerden, nl. dat van d e maatschappelijke opstelling van d e wiskunde. D e voornaamste reden dat ik vanmiddag tot u spreek over dit onderwerp, is dat mijns inziens d e nieuwe maatschappelijke tendensen en ontwikkelingen aanleiding zullen geven tot nieuwe vragen naar d e plaats van d e wiskunde niet alleen temidden van d e andere wetenschappen, maar ook in de maatschappij. In zekere zin was d e wiskunde in d e oudere rationalistiese maatschappijen, waaruit d e onze gegroeid zijn, nauwelijks geïntegreerd. Ik wil u slechts herinneren aan d e tijd dat d e wetenschappen in ivoren torens beoefend werden; aan de tijd waarin élite financiële draagkracht een voorwaarde was voor akademiese studie; waarin d e resultaten van d e wetenschappen niet snel en efficient via techniek en technologie tot d e produktie van goederen leidden. In deze maatschappijen werden d e logicistiese en puur-formalistiese terminologieën over d e wisk u n d e geboren, die alleen maar tot resultaat konden h e b b e n dat niet-wiskundig geschoolden verder van deze wetenschap af kwamen t e staan d a n nodig was. H e t beeld dat van die dagen gegeven kan

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen