1970 Geloof en Wetenschap : Orgaan van de Christelijke vereeniging van natuur- en geneeskundigen in Nederland - pagina 195

W. KUYK

155

properties, differences, sequences and contiguities must be given, together with the objects themselves, as something which cannot be reduced to something else and which requires no reduction". Nu is het een feit dat als men tellen gaat hoeveel zichtbare „en in alle opzichten waarneembare" symbolen men op papier kan zetten, men niet verder komt dan tot aftelbaar oneindig veel. Vragen we ons verder af wat in beginsel de meest fundamentele manier is waarop men uit een gegeven basisverzameling (met ten hoogste aftelbaar oneindig veel) symbolen, arithmetiese entiteiten maakt, dan is dat door in een bepaalde formule of uitdrukking een aantal symbolen als variabel te beschouwen (zeg bijv. in de formule ƒ == f (xi, Xo,) zijn de symbolen x^, X2, • • • variabel), en een ieder van deze variabelen te laten „lopen" door vooraf gegeven verzamelingen (bijv. Xi door V^, X2 door V2, etc...). Een entiteit verkregen door voor elk van de variabelen een element van de korresponderende verzameling te substitueren is een specialisatie van de beschouwde formule. Men kan nu, naar analogie van wat plaats vindt als men de „verzameling van de natuurlijke getallen" vormt, een generaliserende denkdaad verrichten door te gaan spreken van de verzameling van alle speciali^ saties van de formule (in symbolen: {ƒ (^i, x^, . . . ) | x,- s V,-} Dit is o.i. het primordiale beginsel dat ten grondslag ligt aan de zuivere (d.i. van alle mogelijke interpretaties en toepassingen losgemaakte) wiskunde. We zouden dit het substitutiebeginsel kunnen noemen. Vertalen we dit princiep als een aksioma in een meer voor wiskundigen geëigende taal dan komt het er als volgt uit te zien: Specialisatieaksioma: Laat AT = {xg, x-^, X2, .. •} een aftelbare (ongeordende) verzameling zijn met elementen XQ, X^, .. ., waar Xi ^ Xj als i ^ j . Laat aan elke x een verzameling {y;} toegevoegd zijn. Dan bestaat er een verzameling Po(x,{jv,})bestaande uit alle (ongeordende) verzamelingen van de vorm {^o> Zi' • • • 1 ^^^ Z' ^JV' voor elke i. Dit aksioma nu is (bijv. binnen de Zermelo-Fraenkel verzamelingenleer ZF) weer ekwievalent met het Keuzerijendksioma: Bij elke verzameling y bestaat er een verzameling Po(y) bestaande uit alle aftelbare (eindige en oneindige) deelverzamelingen van y. Men kan dit aksioma op verschillende manieren trachten in te bouwen in een aksiomatiese verzamehngsleer. Het is in ons verband niet nodig

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen