Benaderingsproblemen bij irrationele getallen - pagina 8

8

Uit de stelling van Hurwitz volgt, dat deze waarde min? stens 2 is, terwijl het resultaat van Siegel leert, dat ze voor een algebraïsch getal van den graad n ÍE 3, zeker iets kleiner is dan het bedrag 2 Vn. Met behulp van de besproken approximaties van Thue? Siegel is het mogelijk geweest een probleem op te lossen, dat oogenschijnlijk met irrationale getallen niets uitstaande heeft. Thue heeft n.1. de volgende stelling kunnen bewijzen: Wanneer men de termen van een irreducibel polynoom in x, van den graad n ÍE 3 en met geheele coëfficiënten, aanvult met factoren y, zoodanig dat een homogene veelterm in x en y wordt verkregen van den graad n, dan heeft de verge? lijking, die ontstaat door dezen laatsten veelterm gelijk te stellen aan een willekeurig geheel getal, slechts een eindig aantal oplossingen in geheele x en y. Meetkundig beteekent dit, dat op de kromme door deze vergelijking voorgesteld, slechts een eindig aantal roosterpunten kan liggen. Keeren we echter tot de irrationale getallen terug. Wij merkten in het begin dezer voordracht op, dat Pytha? goras het getal V2 kende en het, zooals vanzelf spreekt, wist te construeeren als hypothenusa van een gelijkbeenigen rechthoekigen driehoek met de eenheid als rechthoekszijde. Ook bespraken wij reeds, hoe de Grieken andere irrationa? liteiten, al of niet als zoodanig herkend, trachtten met passer en liniaal te construeeren: l 2 en n. Daar wij uit de meetkunde weten hoe elke constructie met passer en liniaal neerkomt op snijding van cirkels en rechte lijnen, wat analytisch wil zeggen: onderlinge oplos? sing van tweedegraads? en lineaire vergelijkingen, is het voor hen die algebra kennen duidelijk, dat slechts zeer speciale algebraïsche getallen als lengten van lijnen met passer en liniaal zijn te construeeren. Z o o is het getal 2, hoewel algebraïsch, niet met passer en liniaal te construeeren. Met deze kennis heeft voor ons het probleem der kubusverdubbeling met passer en liniaal afgedaan. 3/

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen