1938 Orgaan van de Christelijke Vereeniging van Natuur- en Geneeskundigen in Nederland - pagina 163

155

3)

4)

5)

0)

")

8)

mede corrcspondeerende vergelijkingen, heeft men een nummeringspnncipe verkregen voor de exacte beginstukken der oneindig voortloopende decimale ontwikkelingen aller reeele algebraische getallen en wel heeft de n-de decimale breuk Bp uit deze rij minstens n decimalen (m de rij zullen dezelfde algebraïsche getallen herhaalde malen door een beginstuk vertegenwoordigd zijn, doch dat stoort den bewijsgang niet) M e n vorme nu de decimale breuk o, ai 82 a^ , w a a r i n an voor u = 1,2, .. volgens een willekeurig vast te leggen principe gekozen w o r d t , maar m ieder geval zoodanig, dat an afwijkt van de n-de decimaal bn der n-de breuk Bn uit de zooeven geconstrueerde rij (diagonaalmethode) en niet van zekeren mdex af steeds gelijk is aan nul De oneindig voortloopende tiendeelige breuk o a i a^ as . . is dan een ondubbelzinnig vastgelegd getal, dat zeker transcendent is, wijl geen beginstuk zijner decimale ontwikkeling m de rij der beginstukken Bi B j . voorkomt e = 2,718 . beteekent hier e v. de basis van het stelsel der natuurlijke logarithmen JI = 3,1415 het getal van Archi' medes Deze getallen zijn inderdaad transcendent, zooals omstreeks 1880 werd bewezen voor e door Hermite, voor :i door Lindemaan (Literatuur m DA, Kap I V ) M e t een soortgelijk betoog als dat onder 5-') toont H Lebesgue (Sur certames demonstrations d ' e x i s t e n c e . Bull de la Soc M a t h de F r a n c e ^5 ( 1 9 1 7 ) , blz 1 3 2 ^ 1 4 4 , speciaal blz 135) aan dat men kan , nommer un nombre reel" met de eigenschap E op grond der genoemde stelling Hij geeft echter toe, dat dit ,,nommer" niet hetzelfde is als ,,calculer" (blz 136) I n d e r d a a d daartoe toch zou noodig zijn, dat men van de getallen van R het beginstuk hunner decimale ontwikkeling kon opschrijven W e g e n s de uitgebreidheid der betreffende literatuur, noem ik slechts d e korte, doch duidelijke ontwikkeling van deze m a a t theorie door ƒ Wolff, Metriek van puntverzamelingen, Lebes^ue-mtegratie. Mathematica B ( Z u t p h e n ) 4 1935/1936, blz 1^—^12, 33—50, 65'—71 V o o r literatuur zie men het uitgebreide artikel m de onder 21) geciteerde Encyclopadie van L Zoretti— A Rosenthal, Die P u n k t m e n g e n (Bd II, 3, 2, blz 852 e v ) Deze stelling is bevat m een diepere van Lebesgue (een bewijs dezer laatste bijv in het onder 55) g vv van Wolff) en w e r d m de geciteerde gedaante op eenvoudige wijze bewezen door Knopp (Literatuur m D A , Kap III § 5) Z i e bijvoorbeeld E Borel, Legons sur la theorie des fonctions (Paris 1914 >), blz 194 e V V e r d e r e literatuur m DA Kap I X !) 6 Z i e echter het interessante artikel van K Mahler, Über die Dezimalbruchentwicklung gewisser Irrationalzahlen Mathematica B ( Z u t p h e n ) 6 (1937/1938), blz 22—36)

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen