1938 Orgaan van de Christelijke Vereeniging van Natuur- en Geneeskundigen in Nederland - pagina 139

131 maar het laat zich gemakkelijk m een constructieven vorm gieten H e t IS namelijk mogelijk de reeele algebraïsche getallen zoodanig te nummeren dat men bij iedere n ^ 1 in een eindig aantal stappen n cijfers achter de komma kan bepalen m de decimale ontwikkeling van het n-de getal dier rij De diagonaalmethode van Cantor levert dan een transcendent getal, w a a r v a n men in een emdig aantal s t a p pen ieder gewenscht aantal decimalen kan berekenen, ja levert zelf'i oneindig vele zulke transcendente getallen 5-') W a t men tegen de methode kan aanvoeren is dus niet, dat ze niet constructief is, maar wel, dat de transcendente getallen, niet m een gesloten vorm geleverd worden, dat zich verder niets over deze getallen laat uitspreken (zulks m tegenstelling met bijvoorbeeld de methode van Liomnlle), dat het bewijs geen middelen geeft om uir te maken of bepaalde bekende getallen zooals bijvoorbeeld e of ^, tot de transcendente behooren of niet ^'') M e n denke zich nu, m analogie met het voorgaande, het geval, dat iemand een stelling heeft bewezen van het volgende type- ,,De reeele getallen, met uitzondering van oneindig vele, die zich echter m een genummerde rij R laten ordenen, hebben de eigenschap E " (waar E een eigenschap beteekent, die in de stelling nader is omschreven en waarvoor het zinvol is van een reëel getal te vragen, of dit die eigenschap bezit of n i e t ) , terwijl het hem echter onmogelijk is, om op grond van zijn bewijs iets naders over de getallen van R mede te deelen In dit geval ligt de zaak anders dan zooeven N u toch kan de constructie van een reëel getal dat de eigenschap E bezit met behulp der diagonaalmethode niet daadwerkelijk worden uitgevoeid en is de tegenwerping, dat het bewijs niet constructief is, gerechtvaardigd 54) In een soortgelijk, maar gecompliceerder geval verkeert men bij de zoogenaamde metrische onderzoekingen die een belangrijke rol spelen, vooral met betrekking tot de getallentheoretische eigenschappen van het continuum Deze onderzoekingen beiusten op de maattheorie van Borel en Lebesgue '5) W a n n e e r men op een rechte lijn een nulpunt O aanwijst en een lengte-eenheid kiest, duidt ieder punt P der rechte een getal aan (n 1 het getal, dat de afstand O P aangeeft) en omgekeerd ieder getal een punt der rechte Ik beschouw thans 2 punten, A en B, en noem de verzameling dei tusschen A en B liggende punten, het vak (A B ) , aan dit vak ken ik als ,,maat ' toe zijn lengte O o k een geïsoleerd liggend punt vatten w e op als een vak en wel met de maat nul E e n willekeurige, misschien zeei grillig verspreid liggende puntverzamehng op onze rechte trachten we nu te meten met behulp van vakken H o e dit volgens de theorie van Borel-Lebesgue geschiedt, kan hier niet w o r den beschreven Ik volsta met de mededeelmg, dat de klasse der volgens deze theorie meetbare verzamelingen, zeer uitgebreid is, en

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen