1938 Orgaan van de Christelijke Vereeniging van Natuur- en Geneeskundigen in Nederland - pagina 153

145 en is met het oog op de immanente eigenschappen van het systeem zelf, van wemig belang W a a r i n ligt dan de w a a r d e van het systeem, als men afziet van bedoelde toepassingsmogelijkheid^ W e l wat overblijft om zich op te beroemen, is de logische onaantastbaarheid van het systeem de zekerheid dat men daarin nooit tot een tegenspraak zal komen D a a r men echter voortdurend, over de objecten van het systeem sprekend zegt, dat deze bestaan, ligt het voor de hand, dat w a a r als grond voor dit bestaan niets anders is overgebleven dan de zekerheid dat de wijze w a a r o p het betreffende object in de theorie is ingevoerd daar met tot een contradictie kan leiden, men per definitie gaat vaststellen bestaan is identiek aan niet-stnjdigheid met de axiomata Dit is het standpunt M a a r nu het probleem' Immers w a a r o p grondt de formalist zijn zekerheid dat de axiomata zijner meetkunde onderling tegenspraakloos zijn'' O p het standpunt van Kant, of van den empirist moge die tegenspraakloosheid in den a a r d der zaak liggen, maar hoe, w a n n e e r de axiomata zijn te beschouwen als willekeurig gekozen praemissen' H e t is duidelijk dat dan de tegenspraakloosheid een bewijs behoeft en het ligt vrijwel voor de hand dat men daarbij wel een beroep zal moeten doen op middelen die buiten het systeem zelve zijn gelegen Dit bewijs gelukte Hubert op eenvoudige wijze, door de rekenkunde te hulp te roepen H o e dit mogelijk is, heb ik bij de bespreking van de arithmetiseermg der meetkunde reed-^ aangeduid W a t eigenlijk gebeurt, kan men ook zoo omschrijven dat Huberts axiomatisch systeem w o r d t ,,gevuld" door rekenkundige objecten Indien nu maar d e onaantastbaarheid van d e rekenkunde vaststaat, is ook die van de meetkunde g e w a a r b o r g d en dit verklaart, dat ook de mtuitionist groote w a a r d e hecht aan axiomatische systemen m den trant van Hubert, voor zoover zij zich rekenkundig laten , vullen" voor den mtuitionist is de rekenkunde immers betrouwbaar en ontleent het systeem aan h a a r de w a a r d e Niet aldus voor den formalist pur sang Bij zijn beroep op de rekenkunde is het er hem niet zoozeer om te doen, om de meetkunde te anthmetiseeren, dan wel om het eerste het beste middel aan te grijpen, waarmee hij de tegenspraakloosheid van zijn systeem kan bewijzen Echter ook dat middel zelve dient kiitisch bekeken , , W a t m de wiskunde bewezen kan w o r d e n " zegt Hubert (in navolging van Dedekind i^'')) ..mag niet zonder bewijs a a n v a a r d ' en hij ziet met m w a a r o m de leer der natuurlijke getallen hier een uitzondering zou moeten vormen i'^o) D e methode nu die aangegrepen w o r d t ter grondvesting van de rekenkunde, is, het ligt voor de hand de formahstisch-axiomatische En WIJ krijgen hier dus alles weer terug w a t bij de meetkunde reeds werd besproken de definitie van bestaan als contradictielooshetd der

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen