1938 Orgaan van de Christelijke Vereeniging van Natuur- en Geneeskundigen in Nederland - pagina 142

134 gelijkmatig verdeeld over het vak (O, 1) H e t ligt nu voor de h a n d te vragen of deze stelling ook geldt, als men de rij a, 10a, 100a, 1000a, . ... vervangt door een willekeurige rij van de gedaante, n a, n' a, n " a, waarin n, n', n", een nj van opklimmende geheele getallen voorstelt Weyl "-) bewees, dat dit inderdaad zoo is D e methode van Weyl laat velerlei uitbreiding toe op iijen van andere gedaanten en zoo kan men bijvoorbeeld aantoonen *'3), dat voor bijna ieder getal a > 1, de gebroken deelen van de getallen der rij a, a^, sfi, . . gelijkmatig verdeeld liggen over het vak (O, 1) O o k m andere gebieden der getallenleer vindt men zulke metrische stellingen Ik herinner aan de metrische kettmgbreuktheorie, waarin reeds, zij het m de terminologie der waarschijnlijkheidsrekening *''*), Gauss 65) de eerste resultaten vond A a n de belangrijke stellingen van Khintchine en Jarnik over lineaire Diophantische a p proximaties ^^) en van Mahler over de maat der verzameling aller door hem aldus genoemde S-getallen '>'') M e n kan door een invoering van een fijner maatbegrip, bijvooibeeld volgens de methode van Hausdorff *'''), de verzamelingen van de maat nul nog verder onderscheiden Jarnik gebruikte dit voor het onderzoek der simultane approximatie van reeele getallensystemen met gelijknamige breukenstelsels ^'^) E e n dergelijke, fijnere metriek heeft bijvoorbeeld h a a r nut als men de existentie van bepaalde soorten van getallen wil aantoonen, terwijl men van te voren weet, dat deze getallen, zoo ze al bestaan, een verzameling vormen van de maat nul m den zin van Lehesgue D e metrische stellingen zijn existentiestellingen Z e spreken de existentie uit zelfs van oneindig vele getallen, die zekere m de betreffende stelling met name genoemde eigenschappen bezitten; m de meeste gevallen is men echter niet m staat, ook maar één dier getallen op grond van het bewijs werkelijk aan te geven '^^) E n m versterkte mate gelden hier dezelfde bezwaren, die ik met betrekking tot het zooeven geschetste bewijs van Cantor noemde Weyl merkt ergens op '^i), dat men de w a a r d e der metrische stellingen niet hoog mag aanslaan Dit oordeel moge gemotiveerd zijn, mdien men zich op den allerscherpsten eisch van constructiviteit instelt toch laat zich zelfs op dit s t a n d p u n t nog menig argument m het voordeel der metrische onderzoekingen aanvoeren Deze toch leeren ons om zoo te zeggen het gemiddelde gedrag der reeele getallen kennen Problemen, w a a r v a n men bij éen enkel gegeven getal

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen