Existentiebewijzen in de wiskunde - pagina 21

19 x^ = — 1 had nu eenmaal geen wortels; maar toch, als men op het zinlooze symbool V^l met eenige voorzichtigheid de rekenregels der algebra toepaste, ging dit vlot en voerde het in sommige gevallen tot resultaten, die nog geheel konden worden geïnterpreteerd binnen het gebied der ,,vertrouwde" wiskunde, resultaten die men op andere wegen waarschijnlijk niet zou hebben gevonden. Men denke bijvoorbeeld aan het verband tusschen de exponentiaalfunctie en de goniometrische functies, uitgedrukt door de formule van Euler •*')• Het bleef echter de vraag, of V—^ nu iets 'werkelijks was of niet. en het wantrouwen drukte zich uit in namen als ,,imaginair" en ,.onbestaanbaar"; Leibniz •'-) zeide in 1702: ,,Die imaginaren Zahlen sind eine feine und wunderbare Zuflucht des Göttlichen Geistes, beinahe ein Amphibium zwischen Sein und Nichtsein", en nog omstreeks 1800 publiceerde de jonge Gauss '*^) de zoogenaamde hoofdstelling der klassieke algebra (het existentietheorema, dat uitspreekt: ledere hoogeremachtsvergelijking -''t) (met reëele coëfficiënten) bezit minstens één wortel in het gebied der complexe getallen) en zijn eerste bewijs dier stelling in een inkleeding, waarbij zorgvuldig het gebruik van het imaginaire vermeden is, hoewel deze stelling een der klemmendste argumenten voor de invoering der complexe getallen in de wiskunde voorstelt, en hoewel Gauss zelve reeds een helder inzicht in hunnen aard had, een inzicht, gegrond op de door hem in 1797 gevonden en later beroemd geworden meetkundige interpretatie 95). Bij het zoeken nu in de negentiende eeuw naar een hechten grondslag voor de wiskunde, kunnen wij in hoofdzaak twee tendenties onderscheiden, die elkaar echter niet behoeven uit te sluiten: arithmetiseering (dit is: herleiding tot eigenschappen van de natuurlijke getallen der rekenkunde) en formaliseering, maar die in den loop des tijds tot in uiterste consequentie doorgevoerd, ieder voor zich de kiem bleken van een der beide extreme opvattingen, waartusschen zich de meeningen over de grondslagen der wiskunde, ook over het bestaansbegrip in de wiskunde, bewegen: intuitionisme en axiomatisch formalisme. Beschouwen wij, in aard en ontwikkeling, arithmetiseering en formaliseering achtereenvolgens iets nader. W e nemen aan, dat de drie hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken en vermenigvuldigen met de natuurlijke getallen 1, 2, 3, ... en het getal O, ons bekend zijn; op welke gronden deze kennis berust, zij voorloopig buiten beschouwing gelaten. In het schoolonderwijs volgen dan de breuken. W i e zich tracht te herinneren, hoe hij de kennis der breuken heeft verworven, zal bezwaarlijk kunnen ontleden, wat daarbij op logisch bewijs, intuïtief inzicht, of autoriteitsgeloof berustte. Onderzoekt men de zaak nader, dan blijkt, dat ze zich als

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen