Existentiebewijzen in de wiskunde - pagina 19

17 in een eindig aantal stappen een priemgetal aanwijzen, dat grooter is dan p „ . Laat men in de wiskunde het principe van het uitgesloten derde toe, dan heeft men een mogelijke bron van niet-constructieve existentiebewijzen; voert de aanname van het niet-bestaan van zeker object tot een tegenspraak met reeds aanvaarde waarheden, dan volgt daaruit de existentie van dit object. De omvang nu van de bij het wiskundige bewijs toe te laten hulpmiddelen (die bijvoorbeeld afhangt van de vraag, of men andere dan constructieve bewijzen zal toestaan), bepaalt voor een groot deel, wat men wiskunde noemt. Dat hier geen eenstemmigheid heerscht, is reeds een gevolg van het feit, dat „wiskunde" een naam is, door menschen gegeven aan een door menschen afgegrensd gebied van menschelijke wetenschap. Om tot ons voorbeeld van de schoolmeetkunde terug te keeren : wanneer iemand uitsluitend de meetkunde van passer en liniaal tot meetkunde wil verklaren, valt het probleem van de cirkelquadratuur daarbuiten * - ) . Men voelt dus, dat hier willekeur mogelijk is, maar waar begrippen in het spel zijn als existentie en waarheid, is het duidelijk,' dat deze willekeur niet door ieder als ongelimiteerd zal worden gevoeld. Wij dienen verder te bedenken, dat de opvatting aangaande de existentie van zeker wiskundig object, behalve door de wijze, waarop die existentie is bewezen, ten sterkste wordt bepaald door de meening aangaande de realiteit van het deel der wiskunde, waarvan men bij het bewijs als vaststaand uitging. De meeningsverschillen, die men hier aantreft, loopen voor een deel parallel met de zooeven bedoelde. Wij zullen ze daarom in verband met deze bezien en wel, zij het vluchtig, in het licht der historische ontwikkeling. Tot in de vorige eeuw was er geen voldoende reden, om niet de realiteit der wiskundige objecten in het nauwste verband te zien met de ervaringswerkelijkheid, hetzij dat men op empiristisch standpunt, deze objecten beschouwde als uit de ervaring door abstractie gewonnen, hetzij, dat men de eenvoudigste wiskundige waarheden hield voor aanschouwingsvormen a priori van onzen geest, aanschouwingsvormen, waarin alleen de wereld onzer ervaring door ons kan worden gevat en gekend. Dit geldt niet alleen met betrekking tot de elementaire reken- en meetkunde, maar ook ten aanzien van de analytische meetkunde, die in de zeventiende eeuw ontdekt door Fermat en Descartes, beschouwd werd als een toepassing van rekenkunde en algebra op de meetkunde en evenzeer met het oog op de infinitesimaalrekening ^^), door Newton en Leibniz uitgevonden en verder ontwikkeld door mathematici als Euler, Johann Bernoulli en Lagrange s*),

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen