Existentiebewijzen in de wiskunde - pagina 18

16 redeneering, dat wil zeggen: met behulp van een gedachtenketen, die uit een eindig aantal schakels bestaat, waarvan ieder voldoet aan de algemeen als geldig erkende wetten van het logisch denken, die bijvoorbeeld voor een niet onbelangrijk deel zijn beschreven door Aristoteles. Dit sluit natuurlijk eenerzijds niet uit, dat die wiskundige waarheden langs inductieven weg ontdekt (beter misschien: vermoed) kunnen worden {Riemann liet zich eens ontvallen '^^): ,,Wenn ich nur erst die Satze habe! Die Beweise werde ich schon finden"), noch anderzijds, dat men herhaalde logische redeneeringen kan vermijden door zuiver mechanisch, min of meer uitgebreide formeele systemen, waarvan de bruikbaarheid en de juistheid vroeger eens en vooral werd vastgesteld, toe te passen '^^). Nu heb ik in het voorgaande met betrekking tot existentiebewijzen meermalen de term.en constructief en niet~constructief gebruikt. Hierbij denkt men onwillekeurig terug aan de schooljaren, waarin men bij de vlakke meetkunde herhaaldelijk voor de opgave geplaatst werd, uit bepaalde gegevens, in een eindig aantal stappen, voorgeschreven figuren op te bouwen. De hulpmiddelen, die hierbij mochten worden gebruikt, waren de passer en de liniaal. In den gedachtengang dier schoolmeetkunde is dan bijvoorbeeld het bij een gegeven lengte-eenheid bepalen van een lijnstuk ter lengte \/2 op constructieve wijze mogelijk '^9), en dat van een vierkant met oppervlakte gelijk aan een gegeven cirkel niet. (Dit laatste werd aan het einde der vorige eeuw streng bewezen, waarmede toen pas het eeuwenoude probleem van de cirkelquadratuur had afgedaan ^"))Toch heb ik reeds opgemerkt, dat dit vierkant wel bestaat; als men andere constructiemiddelen toelaat, kan men het gemakkelijk teekenen. Nu is het duidelijk, dat dit daadwerkelijk op papier of bord construeeren niet het eigenlijke wiskundige bedrijf is: het is slechts een handtastelijke begeleiding van het bouwen, het construeeren, dat wij in onze gedachten, in onzen geest verrichten; wij hebben dit allen ervaren bij de stereometric, waar we de constructies wel beschreven, maar meest niet uitvoerden, tenzij dan in de beschrijvende meetkunde, waar zij teruggebracht werden tot de planimetrie. De meetkundige constructies werden door mij slechts aangehaald als een speciaal voorbeeld van constructieve wiskundige redeneegen in het algemeen. Zoo is bijvoorbeeld het bewijs van Euclides voor de existentiestelling, dat er oneindig i'ele priemgetallen (dit wil zeggen: ondeelbare natuurlijke getallen) bestaan, in den volsten zin constructief, hoewel het niets met de meetkunde uitstaande heeft. Euclides merkt op '**'), dat als pi, pa, Ps, .••, Pn de eerste n priemgetallen voorstellen, het getal p^^ p2 ... pn + 1 door geen dier priemgetallen deelbaar is, zoodat het óf zelf een priemgetal is, óf een priemfactor bevat die grooter is dan pn; in ieder geval kan men dus

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen