Existentiebewijzen in de wiskunde - pagina 6

4 de opzettelijke bespreking van de vraag naar de verschillende opvattingen der mathematici betreffende het begrip bestaan, voorloopig te laten rusten. Het is mijn bedoeling, om, uitgaande van een oeroud vraagstuk, het zoogenaamde isoperimetrische probleem, allereerst in een concreet geval de noodzakelijkheid van een existentiebewijs in het licht te stellen. Eenige merkwaardige kwesties, die met genoemd vraag stuk samenhangen, geven op natuurlijke wijze aanleiding tot verschillende beschouwingen over wiskundige existentiebewijzen in he: algemeen, ter toelichting waarvan verscheidene zulke bewijzen ter sprake zullen worden gebracht. Dat we overigens bij deze beschouwingen vanzelve stuiten op de zooeven door mij bedoelde fundamenteele verschillen in opvatting, zal geen betoog behoeven. Het isoperimetrische probleem dan luidt : Welke figuur heeft onder alle vlakke figuren van gelijken gegeven omtrek de grootst mogelijke oppervlakte? W i e de vraag zoo stelt, geeft door haar vorm reeds de meening te kennen, dat er onder de vlakke gesloten figuren van gelijken omtrek inderdaad een zal bestaan met de eigenschap, dat haar oppervlakte minstens zoo groot is als die van elk der andere. Dit laatste nu is een existentie-uitspraak, die zeker nader bewijs behoeft, al aanvaardde de beroemde geometer ]akob Steiner haar uitdrukkelijk als vanzelfsprekend 0). Niets echter dwingt ons, hem hier te volgen. Dat men voorzichtig moet zijn, leert bijvoorbeeld reeds de vraag naar het grootste onder alle vierkanten met oppervlakte kleiner dan een gegeven vierkant; zulk een vierkant bestaat immers niet ^o). Indien men een minder triviaal voorbeeld ter waarschuwing wenscht, noem ik het probleem, dat Besicovitch ^ i ) , naar aanleiding van een verhandeling van Kakeya '^-) tot oplossing heeft gebracht : Op zee drijft een schip van gegeven lengte (bijvoorbeeld 40 meter), waarvan men de overige afmetingen mag verwaarloozen, zoodat bij rechtlijnige vaart, het door het schip beschreven wateroppervlak gelijk nul is. Dit schip moet 360°, dus een heelen slag worden gedraaid. W a t is nu het kleinst mogelijke wateroppervlak, dat daartoe benoodigd is? Het antwoord, dat Besicovitch vond, is verrassend: een kleinste benoodigde wateroppervlakte bestaat niet; men zou kunnen zeggen, dat ze practisch gesproken gelijk nul is. Precieser: denkt men zich een zeer klein deel van een vierkanten millimeter (bijvoorbeeld een duizendsten vierkanten millimeter), dan is het mogelijk, het schip bij zijn draaiing zulke bewegingen te laten maken, dat de totale oppervlakte van het beschreven water kleiner is, dan het van te voren in gedachten genomen deel van den vierkanten millimeter (in casu dan

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen