Het afbeelden in de wiskunde - pagina 18

17 moet a a n het vlak een p u n t w o r d e n toegevoegd, w a a r d o o r

dit,

zooals wij bij de stereografische projectie vonden, den s a m e n h a n g v a n den bol verkrijgt en dus het Gaussische complexe vlak vervangen w o r d t door den Gaussischen complexen bol. T e n e i n d e nu een e e n w a a r d i g e functie w van een complexe veranderlijke z meetkundig te kunnen interpreteeren, hebben wij twee vlakken noodig. Beelden wij in het eene, het z-vlak, op de a a n g e geven wijze een w a a r d e van de veranderlijke z — x + iy dü en ïri het andere, het iv-vlak, a n a l o o g de bijbehoorende w a a r d e van de functie w — u + iv, d a n is op grond van de functie a a n een punt van het 2-vlak een van het iv-vlak toegevoegd. De functie bewerkt derhalve eenduidige afbeelding van het z-vlak in het iv-vlak, of als zij niet voor het geheele z-vlak is gedefinieerd, van een gedeelte d a a r v a n op een gedeelte van het w-vlak. Deze afbeelding

behoeft

niet o m k e e r b a a r eenduidig te zijn, w a n t bij functies, wier inverse niet e e n w a a r d i g is, zal een beeldpunt in het iv-vlak in het algemeen met meer d a n één punt van het z-vlak correspondeeren. Noemen wij een gebied, w a a r i n een e e n w a a r d i g e functie w van z al h a a r w a a r d e n één en niet meer d a n eenmaal a a n n e e m t een fundamentaalgebied,

^

dan zijn twee fundamentaalgebieden zonder uitzonde-

ring eeneenduidig op elkaar afbeeldbaar en wel door a a n elkaar toe te voegen de punten, die bij hetzelfde punt in het iv-vlak b e hooren. Afbeeldingen van deze soort ontmoet men vooral bij de theorie der a u t o m o r p h e functies, dat zijn functies met een lineaire transformatie in zichzelf. Sommige fraaier & functies zijn J

toe te lichten door niet af

te

beelden op twee verschillende, doch op twee samenvallende vlakken of bollen. Met de functie w = z + a correspondeert dan een translatie

van

teling van

het

den bol

vlak

en

met

om één zijner

de functie w = - een z middellijnen

over

wen-

een hoek

van 180°. Bij afbeeldingen van functies y van een reëele veranderlijke kan zoowel w a n n e e r deze functies e e n w a a r d i g , als w a n n e e r ze meerw a a r d i g zijn, volstaan w o r d e n met één enkel vlak, w a a r i n een vast rechthoekig meerwaardige

coördinatenstelsel functies

van

is één

gekozen.

Afbeeldingen

complexe veranderlijke

van geven

echter zelfs bij gebruik van een z-vlak en een iv-vlak nog geen voldoende verduidelijking.

Men

m a a k t hierom

de functie

een-

Q) I r c }—

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen