Is het onderwijs in de Wiskunde een noodelooze kweliing voor onze leerlingen?

III.

Is Uw kind b.v. sterk visueel aangelegd, dan is het voor hem niet noodig hardop te leeren, zooals U dat b.v. in uw jeugd gaarne deedt, omdat IJ meer accoustisch zijt aangelegd; of om het op te schrijven zooals het Uw gewoonte was, omdat ü behoorde lot het motorische type.

Ik zou U raden om, als het goed gaat. Uw kind zijn eigen weg 'te laten gaan. Eerst als het niet goed gaat en er dus ergens iets hapert, is het zaak ook op deze dingen eens te letten.

In het algemeen wordt teveel door de leerlingen een beroep gedaan op het v i s u © e 1 e voorstellingsvermogen. Het zelf nateekenen der figuren en het hardop zeggen van stellingen verwaarloozen ze te veel ©a dit wreekt zich dan later. Onlangs had ik nog gelegenheid in een 5e klasse hierop te wijzen. ]\Joeilijke afleidingen kwamen vlot te voorschijn, omdat ze die in oplossingen vaak hadden ingelascht; in veel eenvoudiger afleidingen bleven ze steken, doordat ze ermee hadden volstaan, om die afleiding uit hun boek ©ens aan te kijken.

Vervolgens wil ik U wij(2en op de aandaohtsooncentratie. Zal ons onderwijs vruchtbaar zijn, dan is het een eerste vereischte, dat de le©rling met opmerkzaamh©id en belangst©lling h©t hem aangebodene beschouwt. De graad van intensiteit van deze beid© is voor d© school, maar ook voor het verdere leven van b'eteekenis bij' d© beoordeeling van den eenen mensch door den anderen. Ze beïnvloeden n.l. de werking der overige geestesfuncties in gunstigen zin.

Er is kracht voor noodig om een bepaalde voorstelling te plaatsen in het centrum van het bewustzijn, zóó dat krachtige afweer geboden wordt tegen ander© opkomende voorstellingen. De voorstelling, waarop zich de opmerkzaamheid richt, wordt steeds scherper omlijnd en treedt als centrale op in eien net van associaties. Het enkele verheft zich uit de massa, wordt tot eea soort middelpunt en heers cht door versterkte aantrekkingskracht.

Van groote beteekenis is dit voor den groei van het geestelijk leven. De macht vaa den geest wordt bepaald door de beheersching der opmerkzaamheid.

We bedoelen hier natuurlijk de willekeurige opmerkzaamheid : de onwillekeurige heeft het karakter van instinct. De school heeft de eerste te oefenen en te versterken.

W© kunnen dus constateeren, dat het de taak van het onderwijs is opmerkzaamheid en belangstelling op te wekken ©n te versterken.

Welke rol speelt nu hierbij het wiskunde-onderwijs in liet bijzonder?

Allereerst vereischt het een sterkere mate van opmerkzaamheid dan menig ander vak. Zelden is het doel van het denken zoo scherp bepaald als bij' de wiskunde.

„Construeer een driehoek uit basis, hoogtelijn op de basis en ©en der basisboeken!"

Een scherpe concentratie der gedachten is bij dezen arbeid vereischt.

Toch heeft de leerling tegen deze concentratie van., ^ijn denken geen bezwaar: integendeel 1

Krachtig weert hij de invloeden af, die hem daarbij belemmeren. Zit hij eenmaal in het vraagstuk, dan kan niets hem er meer vanaf brengen, tot hij het gevonden heeft.

Maar aan den anderen kant moeten we ervoor oppassen de veer niet te veel en te lang te spannen. Sterke concentratie is buit©ng©woon vermoeiend. Indien na langdurig zoeken de oplossing niet gevonden is, treedt ontgoocheling op, die de | innerlijke zekerheid aan het wankelen brengt en de belangstelling doodt. In onze mondelinge lessen op de school moeten we ons voor overdrijving in dit opzicht hoeden. Daarom geef ik ook (vooral ito 'de lagere klassen) na een 'half uur van ingespannen werken de leerlingen gelegenheid het onderwezene toe te passen op vraagstukken, die ze op eigen gelegenheid gaan oplossen.

De arbeid in de klasse biedt de beste gelegenheid om de aandachtsconcentratie t© oefenen en t© versterken onder d© suggestie di© uitgaat van leeraar en medeleerlingen, 't Is dan ook' aardig om op Ie merken ho© juist d© antwoorden zijn, di© d© leerlingen geven. Fouten komen dan weinig voor. Zoodra ze daarentegen voor zichzelf aan 't werk gaan met het oplossen der vraagstukken v©rm©nigvuldigen zich de fouten: de gedachten zijn dan minder geconcentreerd.

Ook moet ik tot mijn spijt zeggen, dat het maken van huiswerk, onder zoo geheel andere omstandigheden dan de school kan bieden, dikwijls als vergif werkt voor de concentratie.

Als uw kind aan het werk gaat, moet het rustig om hem zijn. Gesprekken van anderen moeten hem niet afleiden. Hij mag niet om all©rl©i reden: uit zijn werk worden gehaald zonder hoog© noodzaak.

Wie, als volwassen mensch, zich eens op een of ander© kwestie moet concentreeren en dan telkens weer wordt afgeleid, weet, Tio© vermoeiend dit is, hoofdpijn is niet zelden het gevolg ervan.

Een zeer belangrijke factor voor een goede concentratie is de belangstelling. Dat merken we vooral bij onz© kinderen, telkens weer op. Als iets hun geheele belangstelling heeft, zijn ze ontoegankelijk voor allerlei andere 'indrukken: ze zijn „weg", zeggen we dan, niet te bereiken.

Zooals ik reeds opmerkte, kunnen we met blijdschap constateeren, dat de leerlingen tegenover de wiskunde niet meer zoo vijandig staan als vroeger. Over .gebrek aan belangstelling behoeven we niet langer te klagen. Maar aan den anderen kant zdjn er nog zooveel factoren, die telk©ns storend werken, dat het geen kwaad kan, als we ons van ©en en ander eens rekenschap geven.

Begrijpelijk is die afkeer van de wiskunde wel. Ze vraagt intensieve geestesarbeid, een hoog© mate van wilskracht. Haar systematische opbouw gedoogt geen zwakke plekken. Een tekort aan wiskimdige kennis kan steeds gemakkelijk geconstateerd worden.

En daarbij komt nog, dat doel en beteekenis van het wiskundeonderwijs ook nu nog te weinig aan den dag treden. Suggestie door medeleerlingen (speciaal bij meisjes) en door Oma's en andere familieleden, die klagelijk praten van „doelloos werk" doet hier veel kwaad. Het is dus, ia het belang onzer kinderen, onze plicht de belangstelling voor de wiskunde bij hen wakker te roepen en te houden.

Thans gaan we over tot een nadere beschouwing van de p ban tas ie en d© hiermee verbonden intuïtie. Deze spelen ook in het verdere leven, een zeer belangrijke rol bij het vinden der oplossing van een probleem. Op de beteekenis van deze geestesfuncties voor het leven van ieder mensch ga ik thans ni©t in, daar ik v©rtrouw, dat ü deze beteekenis inziet. Maar ik wil ü wijzen, hoe bij het onderwijs in de wiskunde verschil in aanleg te dezen opzichte wordt geconstateerd.

Elke constructieopgave doet een beroep op de phantasie. En groote individueele verschillen zijn hierbij te constateeren.

Bij een groep van leerlingen is de phantasie stomp. Ook bij intensieve inspanning komt geen vermoeden, geen reddende gedachte bij hen naar voren. Hulpeloos staren ze de figuur aan, waarbij niets hen invalt.

Daarnaast kennen we ©en andere groep van leerlingen, bij wie de geschiktheid om de verschillende voorstellingen op velerlei wijze met elkaar in betrekking te stellen, prachtig ontwikkeld is. Bij lederen stap zien ze nieuwe problemen. Telkens weer worden nieuwe mogelijkheden ontdekt, die eveneens tot oplossing voeren. Onder deze groep treft men er ook aan, bij wie het kritisch denken niet gelijken tred houdt met de phantasie. De naar boven komende voorstellingen worden niet op haar juistheid en bruikbaarheid getoetst. Ze volgen dadelijk de eerste de beste ingeving... en komen dikwijls verkeerd uit.

Ten derde bevinden zich' in de klasse enkelen, meest zeer weinigen, die dadelijk de juiste manier te pakken hebben. 'Vóórdat de bewust© math©matische arbeid verricht is, voelen ze intuïti©f aan, waar het heen moet: kiezen dadelijk den weg, die het vlugst en het zekerst tot het doel voert. Dat zijn de echte mathematici, met hun gevoel voor het aesthetische, zooals de Fransche philosoof ea mathematicus Henri Poincaré zoo fijn zegt. Uit het onderbewuste ik komen juist die voorstellingen naar boven, die het karakter van scihoonheid en elegance vertoonen.

Graag grijp ik in de klasse de gelegenheid aan, hierop t© wijzen. Maar dan ervaar ik ook, wat Poincaré zegt: „que les profanes sont souvent

tentés d'en sourire": de glimlach (indien niet erger 1) vertoont zich op het gelaat van menigen leerling.

Ten opzichte van het geheugen moeten we ons wachten zoowel voor overschatting als onderschatting.

Vroeger neigde men ertoe, om het geheugen boven alle andere geestesfuncdes bij het onderwijs te belasten, daarbij uitgaande van de niet gerechtvaardigde conclusie, dat het mechanisch geheugen bij een kind sterker , was dan bij een volwassene.

Dit is niet juist; onderzoekingen hebben aangetoond, dat de geheugenfunctie eerst op ongeveer 25-jarigen leeftijd haar maximxmi bereikt.

Met een 'beroep op het sterke geheugen liet men bewijzen memoriseeren. Aan allerlei zotte excessen maakte men zich schuldig.

Thans slaat de wijzer naar de andere zijde door en meent men, met een beroep op de geringe beteekenis van het geheugen ten opzichte van de andere geestesfuncties, dit geheel te kunnen verwaarloozen.

Hiertegen moet gewaarschuwd. Parate kennis en vaardigheid kunnen niet worden gemist. Denken en phantasie zijn machteloos, als het geheugen haar geen bouwmateriaal ter .beschikking stelt.

Dikwijls wordt gesproken van gemis aan wiskundige begaafdheid, waar bij nader inzien een tekort aan kennis blijkt te bestaan.

Ook het omgekeerde komt voor: goede resultaten, verkregen door ijverige leerlingen met een sterk geheugen, worden dikwijls toegeschreven aan een groote wiskundige begaafdheid.

Die kwestie van de parate kennis acht ik persoonlijk een zeer moeilijke. Strijdt de leeraar tegen de geneigdheid van de leerlingen om van het wiskunde-onderwijs geheugenwerk te maken, dan trekken ze er de conclusie uit, dat b.v. het leeren van formules niet meer noodig is.

En laat de leeraar zijn leerlingen begaan, dan meenen ze, dat een les leeren bestaat in het memoriseeren ervan en dat het praepareeren voor een bepaalde repetitie beteekent het van buiten leeren van de noodige oplossingen. Zoo komen onze leerlingen op het onjuiste denkbeeld, dat ze alleen over die onderwerpen iets kunnen zeggen, die met hen in de klasse besproken zijn; en is de opmerking: „dat hebben we nooit gehad" voldoende argument om zoo'n opgave te beschouwen als onoplosbaar.

Hierbij komt nog, dat in den loop der oefening de hoogere geestesfuncties al meer en meer worden uitgeschakeld: de oorspronkelijke denkarbeid is geheugenwerk, vaardigheidswerk geworden. Het zoeken naar een oplossing der opgave wordt een opentrekken van laatjes, om te zien of het gezochte daar ook toevallig ligt. Elke hoogste klas geeft daarvan telkens de meest overtuigende bewijzen.

Van den anderen kant moeten we in ons onderwijs telkens een beroep doen op het geheugen. Reeds bij de mondelinge les. Daar eischen we, dat de leerlingen het medegedeelde onmiddellijk vasthouden in dien zin n.l., dat ze kunnen herhalen, wat we eenige oogenblikken te voren hebben gezegd.

Allereerst valt hierbij op te merken, dat, als dit lukt, het nog geen bewijs is van de oplettendheid van den leerling: het is slechts de onmiddellijke weergave van een ontvangen indruk.

En verder moeten we wel bedenken, dat dit on-middellijk vasthouden bij den leerling heel zwak ontwikkeld is: volwassenen bezitten dit vermogen in sterker mate. We kunnen ten opzichte hiervan de proef nemen, door een voorgezegde opgave door den leerling te laten herhalen. Dat heeft in de lagere klassen heel wat voeten in de aarde. En als er dan intusschen b'.V. een boek valt, is hij heelemaal de kluts kwijt.

Het is dan ook aardig om op te merken, hoe de leerling zich hierbij tegsn stoornissen verzet: zijn buurman, die hem afleiden wil, geeft hij een duw, of voegt hem een onvriendelijk woord toe als een booze blik niet voldoende is.

We moeten ons ervoor wachten hier teveel te eischen: overschrijden we de.grens, dan treedt bij den leerling een remming in zijn denken op en hij geeft het op.

Tenslotte wijs ik U den invloed van het wiskunde-ondervrijs aan op het gebied der oordeelsvorming.

Het is in het dagelijksch leven noodig niet alleen eigen meening te kunnen uiten, maar ook de nieening van anderen te kunnen aanhooren en verstaan. Een vak als wiskunde, dat zoo'n groote voorraad van de meest ongewone oordeelen bevat, biedt alleszins voldoende gelegenheid om deze kunst: het verstaan van eens anders oordeel, aan te leeren.

Maar dit is niet voldoende. De leerling, die slechts met oordeelen werkt, die hij van anderen heeft geleend, kan misschien in de school tot tevredenheid van ouders en 'leeraren werken; hij mislukt, als hij in het leven op eigen been en moet staan; hij is te vergelijken met een broeikasplant, die verongelukt in de kou.

We moeten onze kinderen brengen tot het zelfstandige oordeel. Dit oordeel verkrijgt men niet door hooren en naspreken, maar door eigen vrije geesteswerkzaamheid. Zoo is de kennis van een wiskundigen regel van zekere practische beteekenis, maar van grooter waarde is het abstraheeringsproces, het aanpakken der opgave, de formuleering van het probleem, het spel der phantasie.

Met het oog hierop overhooren we den leerling niet alleen van buiten geleerde lesjes, maar plaatsen hem ook voor de oplossing van nieuwe problemen. (Het is typeerend, dat de leerlingen dit maken van onvoorbereid werk ook bestempelen met den naam van repetitie, zoozeer zien ze hun werk alleen als reproductie van wat anderen hen hebben geleerd.)

Over de oefening van kritiek, die voor de vorming van het vrije oordeel van groote beteekenis is, sprak ik U reeds. Hoe moeilijk is het, onze leerlingen daartoe te brengen. En toch, hoezeer zullen ze die kritische instelling ip. het leven noodig hebben. Hoevelen zijn er al van den goeden weg afgeleid door valsche redeneeringen van anderen, die als gezaghebbend werden aangezien en gevolgd!

En hiermede ben ik gekomen aan het einde van mijn kritiek op de afbrekende kritiek, die de wiskvmde zoo dikwijls moet ondergaan.

Ik hoop, dat U de kritiek die ik gegeven heb zult zien niet alleen als negatief, maar ook als positief.

Zeker de wiskunde-leeraar voert zijn leerlingen langs een moeilijk pad, over ongemakkelijk terrein. Maar vanaf dezen weg kunnen we toch vaak genieten van schoone vergezichten, als we slechts oogen hebben om te zien. Zoo wordt de inspanning beloond en het vertrouwen in den gids versterkt.

Dit vertrouwen moet er zijn, ook tusschen ouders en leeraren. Wij hebhen, als leeraren, allen den steun der ouders noodig. Tusschen school en huis moet er samenwerking zijn.

En de beste belooning voor mij is, indien tengevolge van dezen avond, die samenwerking w^r versterkt is.

A. J. DREWES B.Fzn.

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen