Existentiebewijzen in de wiskunde - pagina 12

10 vorm, als een eenvoudige toepassing der ladenmethode wordt afgeleid 43). De grondgedachte der ladenmethode is overigens eenvoudig genoeg: wanneer meer dan n voorwerpen oyer n laatjes (vakjes) verdeeld zijn, bevat minsten één dier laatjes (vakjes) tenminste twee der voorwerpen. Dit is alles. Om U de werking van dit principe te verduidelijken, zal ik met zijn behulp aantoonen, dat minstens één tweetal inwoners van Amsterdam bestaat met onderling gelijk aantal hoofdharen. Een beroep doend op bekende gegevens ^4)^ vindt men, dat het grootste aantal haren, op een menschenhoofd ooit geteld, zeker minder dan 150.000 bedraagt. W e zullen dus vrij veilig gaan, als we aannemen, dat het maximum aantal minder dan 750.000 bedraagt. W e kunnen de inwoners van Amsterdam dus verdeeld denken in ten hoogste 750.000 categorieën, naar het getal hunner haren. Daar het aantal Amsterdammers echter meer dan 750.000 bedraagt, verzekert de ladenmethode de existentie van minstens één tweetal hunner, die in dezelfde categorie voorkomen 45). Een ander voorbeeld van een niet-constructief existentiebewijs, niet minder gewichtig dan het genoemde van Dlrlchlet, levert het klassieke bewijs van Hllbert, dat bij ieder vormensysteem een eindig invariantensysteem bestaat, waarin zich alle andere geheele rationale invarianten van het vormensysteem geheel rationaal laten uitdrukken. Ook hier hadden de constructieve pogingen, o.a. van Gordan, gefaald 40). W e zullen echter op dit bewijs van Hllbert niet verder ingaan, doch liever eenige oogenblikken verwijlen bij eenige existentiebewijzen uit de getallentheorie. Om de existentie van zekere getalsoorten aan te toonen, neemt men vaak de toevlucht tot de leer der verzamelingen. Reeds haar ontdekker Cantor bewees met haar hulp de existentie van transcendente getallen, waarvan trouwens het bestaan door Llouvllle reeds was bewezen ^7): transcendent heet ieder getal, dat niet algebraïsch is, algebraïsch heet een getal als het de wortel is van een of andere hoogeremachtsvergelijking, waarvan de coëfficiënten geheele getallen zijn 48). Cantor liet ten eerste zien, dat alle reëele algebraïsche getallen zich in een genummerde rij laten ordenen 40), En ten tweede, dat dit met de verzameling der reëele getallen niet het geval is; precieser: dat bij iedere genummerde rij van reëele getallen, een reëel getal bestaat, dat in de rij niet voorkomt ^o). Hieruit volgt dus de existentie van transcendente getallen. In deze gedaante voorgedragen ^^), is het bewijs niet constructief.

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Terug naar resultaten Printen