Het afbeelden in de wiskunde - pagina 11
Openbare les gehouden bij de aanvaarding van het lectoraat in de wiskunde en de elementaire sterrekunde aan de Vrije Universiteit te Amsterdam
10 twee afbeeldingen
w a s te v e r s t a a n .
Natuurlijk
bezitten
twee
afbeeldingen slechts een product, indien de beeldverzameling van de eerste, de afgebeelde van de tweede is. Is nu per definitie een groep een verzameling, w a a r v o o r een aan b e p a a l d e eigenschappen voldoende vermenigvuldiging is gedefinieerd, zoodat a a n elk g e ordend
tweetal elementen
een derde element
der
verzameling,
g e n a a m d het product, is toegevoegd, dan kan een aantal afbeel dingen slechts een groep vormen, indien alle exemplaren zelfafbeeldingen zijn. Voorbeelden van groepen hebben wij in de v e r z a m e ling aller eeneenduidige zelfafbeeldingen en in die aller topologische zelfafbeeldingen
eener gegeven verzameling, terwijl de juist g e
noemde verschuivingen van een rechte lijn in zichzelf een eenledige continue groep o p b o u w e n . Wij bespreken in de derde plaats enkele toepassingen van het afbeelden en beginnen met er op te wijzen, d a t in de stereometrie uitsluitend eigenschappen van oppervlakken en lichamen worden o p g e s p o o r d , die behouden blijven, w a n n e e r de beschouwde figuren op een of a n d e r e wijze in de ruimte w o r d e n verplaatst. Breiden wij alle mogelijke verplaatsingen
van een oppervlak of
lichaam
in de ruimte uit tot bewegingen van de geheele euclidische drie dimensionale
ruimte
in
zichzelf, dan o n t s t a a t een
verzameling
zelfafbeeldingen, die een groep is. T o e p a s s e n van een e x e m p l a a r dezer groep geeft beeldfiguren, die met hun oorspronkelijk
alle
stereometrische eigenschappen gemeen hebben. Deze e i g e n s c h a p pen zijn d u s b e s t a n d tegen of invariant voor de groep van zelf afbeeldingen of, zooals men gewoonlijk zegt,
transformatiegroep.
Het blijkt, d a t de stereometrie in wezen niet a n d e r s is dan de invariantentheorie voor een b e p a a l d e de vorige omvattende groep. Dit is van groot belang, w a n t hebben twee congruente of stereometrisch aequivalente figuren eigenschappen,
dan
kan
met
volkomen dezelfde de
worden volstaan. Het geoorloofd
bestudeering zijn van een
stereometrische van
een
ervan
overeenkomstige
beperking is voor elke meetkunde een vereischte. Immers zijn na de bestudeering van één der figuren
g e n a a m d e verzamelingen, w a a r o p
de meetkunde betrekking heeft niet tevens de bijzonderheden van een groot aantal andere bekend, dan is de geheele studie een vrij onbegonnen werk. Derhalve zal elke meetkunde een middel moeten bezitten om van twee figuren na te g a a n of zij op het ingenomen s t a n d p u n t als identiek zijn te beschouwen. Nu is vergelijken van
Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt
voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen,
vragen, informatie: contact.
Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing.
Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this
database. Terms of use.
Bekijk de hele uitgave van vrijdag 14 oktober 1938
Inaugurele redes | 22 Pagina's
Bekijk de hele uitgave van vrijdag 14 oktober 1938
Inaugurele redes | 22 Pagina's