Existentiebewijzen in de wiskunde - pagina 16

14 gelijkmatig verdeeld oper het vak (O, 1). Het ligt nu voor de hand te vragen, of deze stelling ook geldt, als men de rij a, 10a, 100a, 1000a vervangt door een willekeurige rij van de gedaante, n a, n' a, n" a, waarin n, n', n" , een rij van opklimmende geheele getallen voorstelt. Weyl 6-) bewees, dat dit inderdaad zoo is. De methode van Weyl laat velerlei uitbreiding toe op rijen van andere gedaanten en zoo kan men bijvoorbeeld aantoonen ^^), dat voor bijna ieder getal a > 1, de gebroken deelen van de getallen der rij a, a^, a^, ... gelijkmatig verdeeld liggen over het vak (O, 1). Ook in andere gebieden der getallenleer vindt men zulke metrische stellingen. Ik herinner aan de metrische kettingbreuktheorie, waarin reeds, zij het in de terminologie der waarschijnlijkheidsrekening 64) Gauss 65) de eerste resultaten vond. Aan de belangrijke stellingen van Khintchine en Jarnik over lineaire Diophantische approximaties 66) g^ van Mahler over de maat der verzam-eling aller door hem aldus genoemde S-getallen 67). Men kan door een invoering van een fijner maatbegrip, bijvoorbeeld volgens de methode van Hausdorff 68), de verzamelingen van de maat nul nog verder onderscheiden. Jarnik gebruikte dit voor het onderzoek der simultane approximatie van reëele getallensystemen met gelijknamige breukenstelsels 69). Een dergelijke, fijnere metriek heeft bijvoorbeeld haar nut als men de existentie van bepaalde soorten van getallen wil aantoonen, terwijl men van te voren weet, dat deze getallen, zoo ze al bestaan, een verzameling vormen van de maat nul in den zin van Lehesgue. De metrische stellingen zijn existentiestellingen. Z e spreken de existentie uit zelfs van oneindig vele getallen, die zekere, in de betreffende stelling met name genoemde eigenschappen bezitten; in de meeste gevallen is men echter niet in staat, ook maar één dier getallen op grond van het bewijs werkelijk aan te geven '^^). En in versterkte mate gelden hier dezelfde bezwaren, die ik met betrekking tot het zooeven geschetste bewijs van Cantor noemde. Weyl merkt ergens op 'i'i), dat men de waarde der metrische stellingen niet hoog mag aanslaan. Dit oordeel moge gemotiveerd zijn, indien men zich op den allerscherpsten eisch van constructiviteit instelt, toch laat zich zelfs op dit standpunt nog menig argument in het voordeel der metrische onderzoekingen aanvoeren. Deze toch leeren ons om zoo te zeggen, het gemiddelde gedrag der reëele getallen kennen. Problemen, waarvan men bij één enkel gegeven getal

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen