Het afbeelden in de wiskunde - pagina 7

6

eentweeduidige correspondentie als wij het projectiecentrum buiten de kegelsnede en de rechte kiezen. Voorts heeft men n a a s t

de

niet-singuliere ook de singuliere collineaties. In de gelijkmachtigheid begrip

hebben

wij een uitbreiding van

het

even-groot-zijn". Immers twee eindige verzamelingen zijn

slechts eeneenduidig op elkaar af

te beelden, als zij

evenveel

elementen bevatten, zoodat de eigenschap van het „even zijn" w o r d t vervangen

door

beteekenis heeft

oneindige

voor

die

der

aequivalentie,

verzamelingen.

groot

welke

ook

Tegelijkertijd

neemt de machtigheid of het cardinaalgetal de plaats in, die v r o e ­ ger het minder omvattende begrip „ a a n t a l elementen" bezette. Evenals gelijkheid is ook ongelijkheid in grootte van twee o n ­ eindige verzamelingen te definieeren met behulp van een eeneenduidige afbeelding. Een verzameling heet kleiner dan een tweede, als zij met een deelverzameling d a a r v a n , doch niet met die tweede zelf aequivalent is. Het probleem van het al of niet b e s t a a n van een schaal der machtigheden, d a t wil zeggen van het al of niet mogelijke van een rangschikking

der

oneindige

verzamelingen

n a a r grootte is thans herleid tot d a t der vergelijkbaarheid van twee verzamelingen. Wij moeten n a g a a n of van twee gegeven

niet-

aequivalente verzamelingen steeds één een deelverzameling bevat, die met de volledige andere verzameling aequivalent is. Populair gezegd of van twee niet evengroote verzamelingen steeds één even­ groot is als een gedeelte van de a n d e r e . Dit nu kunnen wij inder­ d a a d aantoonen en wel door gebruik te maken van een stelling van Zermelo

nl.

dat

elke verzameling welgeordend kan w o r d e n .

Bij de verdeeling der eenduidige afbeeldingen in eeneenduidige en niet eeneenduidige hebben wij thans wel voldoende stil gestaan, zoodat wij kunnen overgaan tot het toelichten v a n de splitsing op g r o n d van continuiteit. Wij keeren d a a r t o e nog eens terug tot het in het begin gegeven voorbeeld en constateeren, d a t zonder uitzondering alle plaatsen op a a r d e , die slechts een kleinen afstand van een b e p a a l d e stad zijn verwijderd, op de k a a r t w o r d e n a f g e ­ beeld door punten, die zich in de buurt van het beeldpunt

der

s t a d bevinden. Deze eigenschap, zonder welke een k a a r t volkomen o n b r u i k b a a r is, berust op de continuiteit der bij de v e r v a a r d i g i n g gebezigde

projectiemethode.

Van een continue afbeelding kunnen

wij

alleen

spreken,

van, op of in een

verzameling

als zij tot een omgevingsruimte

is

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen