Existentiebewijzen in de wiskunde - pagina 9

7 tuurlijke getallen 1, 2, 3, ... Door quadrateeren krijgen we daaruit de getallen 1, 4, 9, ... Er is dus een procédé (het procédé van het quadrateeren), dat uit ieder natuurlijk getal een grooter voortbrengt, behalve uit het getal 1, dat gelijk blijft. Volgens de redeneering van zooeven zou dus 1 het grootste natuurlijke getal zijn, welke uitkomst kennelijk onjuist is. Maar hoe vreemd de uitkomst schijne, de getrokken conclusie zou inderdaad juist zijn, indien -van te voren bewezen ware, dat een grootste natuurlijke getal bestaat. Al is de lacune in Steiners bewijzen daarom niet minder ernstig, toch dient opgemerkt te worden, dat Steiner zich aan de laatstgeschetste grove logische fout niet heeft schuldig gemaakt, zooals men wel eens schijnt te meenen ^o); 2ijn fout is een te groot vertrouwen in wat zich op het eerste gezicht als evident -en schijnbaar als aanschouwelijk voordoet. Ik ben op het isoperimetrische probleem uitvoerig ingegaan, omdat bij dit probleem de situatie ook voor niet-wiskundigen begrijpelijk is, doch tevens om het feit, dat zich op geheel andere terreinen der wiskunde volkomen analoge kwesties hebben voorgedaan, met name bij een probleem, dat veel belangrijker is dan het isoperimetrische probleem, maar welks bespreking echter veel meer wiskundige voorkennis vereischt, zoodat ik daar met enkele aanduidingen zal volstaan. Ik bedoel het zoogenaamde eerste randwaardeprobleem der potentiaaltheorie, ook bekend als probleem van Dirichlet ^ i ) . In zijn eenvoudigsten vorm luidt dat als volgt: Neemt men in het platte vlak een cirkel, en voegt men aan elk zijner randpunten een getalwaarde toe, zoodanig, dat daardoor op den cirkelomtrek een reëele, continue functie g wordt gedefinieerd, dan wordt gevraagd, of er een functie f bestaat, die op de gesloten cirkelschijf continu is, op de open cirkelschijf aan de differentiaalvergelijking van Laplace voldoet en op den cirkelomtrek met g samenvalt ^2). Nu werd deze vraag reeds omstreeks 1820 door Poisson 23) bevestigend beantwoord en de zoogenaamde integraal van Poisson geeft de gevraagde functie daadwerkelijk aan 24) Moeilijker wordt het probleem echter, wanneer men inplaats van den cirkel een ander gebied kiest, dat min of meer grillig van vorm kan zijn en dan de analoge vraag stelt; Gauss, Dirichlet en Thomson hebben zulke gevallen met behulp der variatierekening onderzocht 25). Met een methode, door hem principe van Dirichlet en door de Engelschen principe van Thomson genoemd, bewees Riemann omstreeks 1857, onder zeer algemeene voorwaarden voor den aard der beschouwde gebieden, dat er één en slechts één functie f bestaat, die aan de gestelde eischen voldoet, en hij gaf verschillende generalisaties en toepassingen van zijne in de functietheorie en de mathematische physica fundamenteele stellingen 26). In zijn bewijsmethode, die aan de redeneering van Steiner doet

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen