Existentiebewijzen in de wiskunde - pagina 25

i3 bijvoorbeeld op grond van de stelling van Euclides, dat men bij iedere n priemgetallen een (n + l)-ste kan aanwijzen n ^ ) . Het begrip bestaan krijgt zoo een wel omschreven zin: een wiskundig object bestaat slechts, yoor zoover het daadwerkelijk uit de wiskundige oerintuïtie is geconstrueerd. Aan het continuum als de totaliteit aller reëele getallen kan op dit standpunt evenmin absolute existentie worden toegeschreven; het moet worden beschouwd als een „Medium freien Werdens", waarin men zoovele reëele getallen kan scheppen, als men wil, door de opstelling van breukenrijen, die op zich zelf wel is waar niet af zijn, maar toch, desverkozen, door de een of andere wet in hun loop kunnen worden bestuurd H'''). Dit alles brengt mede, dat aan een existentiebewijs zeer hooge eischen van constructiviteit worden gesteld en dat zeer vele klassieke resultaten der wiskunde, den toets der intuïtionistische kritiek niet kunnen doorstaan ^i^). Stellingen als ,,een, op een vak (A, B) continue functie, die in A negatief en in B positief is, wordt in een punt C van dat vak gelijk aan nul" en meer dergelijke, voor de analyse fundamenteele existentietheoremata, kunnen op intuïtionistisch standpunt in hun algemeenheid niet worden aanvaard " • ' ) . De vraag of gangbare existentiebewijzen, eventueel na herziening kunnen blijven gehandhaafd, eischt in ieder voorkomend geval een grondig onderzoek; ten aanzien van de reeds eerder genoemde hoofdstelling der algebra werd een dergelijk onderzoek verricht door De Loor '^•'). Welke beteekenis nog zou kunnen blijven gehecht aan de eveneens reeds eerder besproken metrische stellingen, valt niet met een paarwoorden te zeggen ^~^). Aanvaarding van het intuïtionisme beteekent opoffering van bloeiende deelen der klassieke wiskunde. De intuïtionist acht dit offer niet alleen gerechtvaardigd, maar verklaart den bloei schoonen schijn, het bezit der klassieke wiskunde, schijnbezit: papieren munt, door geen wiskundig goud gedekt. Weyl uitte het aldus i - - ) : ,,Wir mussen von Neuem Bescheidenheit lernen. Den Himmel wollten wir stürmen und haben nur Nebel auf Nebel getürmt, die niemanden tragen, der ernsthaft auf ihnen zu stehen versucht". Tot zulke offers zijn de meeste wiskundigen niet, en zeker niet zonder ernstig verweer, geneigd, hoewel zij de zwakke plekken in de fundeering der klassieke wiskunde niet kunnen loochenen en de waarde der intuïtionistische kritiek tot op groote hoogte erkennen. Hilbert zegt i-3) (met het oog op de verzamelingenleer en haar vérstrekkende toepassingen): ,,Aus dem Paradies, dass uns Cantor %eschaffen, soil uns niemand vertreiben können". Een der pogingen om de klassieke wiskunde te redden, vinden we in het axiomatisch formalisme, gegroeid uit formaliseerendc tendenties, zooals wij die reeds bij Leibniz aantreffen, wanneer hij in de

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen