Het afbeelden in de wiskunde - pagina 10

9

letten op de tusschenstanden, die worden ingenomen, dat beide afbeeldingen het begin en het eind vormen van een continue reeks van gelijksoortige. Vervangen van alle punten van het boloppervlak door hun tegenpunten, geeft een derde eenduidige continue zelfafbeelding d a a r v a n , die niet continu uit de eerste is te ver­ krijgen, d a a r ze a n d e r s d a n deze den omloopszin van kleine cirkels op het boloppervlak omkeert. S t a p p e n wij

van dit speciale geval, w a a r i n

bovendien eeneenduidig

en o m k e e r b a a r

continu

de

afbeeldingen

of

topologisch

zijn af en beschouwen wij weer algemeen eenduidig continue, dan kan tusschen twee d a a r v a n ook een continue reeks van

afbeel­

dingen bestaan. Wij zeggen nu, dat de eerste in de tweede h o m o toop is te deformeeren. O p het feit, d a t deze eigenschap zoowel reflexief als transitief is, berust de mogelijkheid alle eenduidige continue afbeeldingen

van een willekeurig complex op

of in een a n d e r te verdeelen in klassen, de z o o g e n a a m d e dingsklassen, die elk uitsluitend h o m o t o o p in elkaar

zichzelf afbeel­

deformeer-

b a r e afbeeldingen bevatten. Uit ons voorbeeld bleek, dat de w e n ­ telingen en spiegelingen van een boloppervlak verschillende afbeeldingsklassen

in

zichzelf,

tot

moeten w o r d e n gerekend, hoewel

beide afbeeldingen topologisch zijn. Terwijl er hier niet meer dan deze twee zijn heeft men op het ringoppervlak zelfs oneindig vele klassen van topologische

zelfafbeeldingen.

Gekomen aan het einde van de behandeling van enkele mogelijke indeelingen der afbeeldingen, deden

in wezen

stellen wij vast, d a t hetgeen

wij

niet a n d e r s w a s , dan het definieeren van deel­

verzamelingen binnen de verzameling van alle afbeeldingen. D e z e opmerking doet uitkomen, d a t er ook verzamelingen bestaan met afbeeldingen

als elementen, w a a r u i t voortvloeit,

dat bij een of

andere afbeelding het beeld van een punt een afbeelding kan wezen. Elke verschuiving van een euclidische rechte lijn in zichzelf is te beschouwen

als een zelfafbeelding

der rechte. Een

willekeurig

e x e m p l a a r van de oneindige verzameling dezer afbeeldingen b e p a a l d door het punt, w a a r i n een vast punt w o r d t

is

afgebeeld.

Met ieder p u n t der rechte s t a a t hierdoor een afbeelding der ver­ zameling in correspondentie, en derhalve worden de punten

der

rechte eenduidig afgebeeld op de verzameling aller verschuivingen. Bij de afleiding van het begrip gelijkmachtigheid van twee ver­ zamelingen, hebben wij medegedeeld, w a t onder het product van

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen