Existentiebewijzen in de wiskunde - pagina 15

13 bij ontwikkeling in een andertallig stelsel weer aanspraak mag maken op den naam normaal (dit begrip analoog gedefinieerd als zooeven). Borel noemt een getal absoluut normaal, indien het voor iedere geheel q > 2 normaal is met betrekking tot zijn ontwikkeling in het q-tallig stelsel. Hij toont aan, dat deze adjectieven gerechtvaardigd zijn: Bijna alle reëele getallen zijn absoluut normaal 5''). Het ligt in den aard van een absoluut normaal getal, dat bij ontwikkeling in een q-talIig stelsel {q ^_ 2) iedere van te voren opgegeven combinatie (waaronder herhalingen mogen voorkomen) van een willekeurig groot aantal achter elkaar geplaatste der cijfers O, 1, ..., (q — 1) oneindig dikwijls in de decimale ontwikkeling zal optreden en wel relatief even vaak als iedere andere combinatie met hetzelfde aantal cijfers. Deze laatste eigenschap nu kan men, in navolging van Borel, op een treffende manier inkleeden öo); als men een willekeurig absoluut normaal getal (dat wil dus zeggen: bijna ieder getal) ontwikkelt (bijvoorbeeld) in het 150-tallig stelsel en voor de 140 symbolen, die naast de 10 cijfers O, 1,2, ..., 9 nog ter beschikking moeten staan, de letters kiest uit ons alphabeth en het Grieksche, benevens de hoofdletters en verder leesteekens als: punt, vraagteeken, spatie en andere symbolen naar behoefte, zullen in die ontwikkeling, tusschen veel zonder zin, alle geschriften der wereldliteratuur, zoowel Homerus als de complete werken van Victor Hugo, zoowel het weerbericht van vijftig jaar geleden, als de volledige tekst aller in de toekomst nog vast te stellen geheime verdragen oneindig dikwijls de revue passeeren. De stelling van Borel kan worden opgevat als een zeer speciaal geval van de resultaten van latere onderzoekingen door HardyLittlewood, Weyl en anderen over de gelijkmatige verdeeling modulo 1 van reëele getallenrijen ^ i ) . Wij denken ons om te beginnen een willekeurig gekozen oneindig voortloopende decimale breuk achtereenvolgens vermenigvuldigd met 10, 102 = 100, 10^ = 1000, ...; we kunnen dit bereiken door de komma steeds opnieuw één plaats naar rechts op te schuiven. Vervangen we daarbij nu telkens het getal voor de komma door nul, dan verkrijgen we op deze wijze een rij van getallen, die alle tot het vak (O, 1) behooren. Is de decimale breuk, waarvan we uitgingen, een absoluut normaal getal, dan kan men op grond van het voorgaande inzien, dat de getallen der bedoelde rij alle verschillend zijn en zich buitengewoon regelmatig over het vak (O, 1) verdeelen. Men heeft zoo de stelling: fOor bijna ieder reëel getal a liggen de gebroken deelen van de getallen der rij a, lOa, lOOa, 1000a

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Terug naar resultaten Printen