Existentiebewijzen in de wiskunde - pagina 23

21 arithmetiseeren door ze te definiëeren als paren van reëele getallen 100). Ook de meetkunde onttrekt zich aan het arithmetiseeringsproces niet; de analytische meetkunde levert immers het middel, om de meetkunde tot algebra en rekenkunde terug te voeren. Om tot volledige arithmetiseering te komen behoeft men nog slechts één stap te doen: de meetkundige grootheden en hunne betrekkingen arithmetisch te definiëeren l o i ) . Voor al de besproken onderwerpen geldt met betrekking tot het probleem hunner verhouding tot de ervaring hetzelfde, als wat we reeds ten aanzien van de breuken opmerkten. Wanneer men op de beschreven wijze de genoemde gebieden der wiskunde ontwikkelt als hoofdstukken der rekenkunde, wordt het onderzoek naar hunne immanente realiteit blijkbaar beheerscht door de vraag, welk bestaan de natuurlijke getallen 1, 2, 3, ... voeren; in dit licht mag men aan de Pythagoraëen toegeven, dat het (geheele) getal het wezen van althans alle mathematische dingen is ^02) g^ krijgt de beroemde uitspraak van Kronecker ^os) relief: ,,Die natürlichen Zahlen schuf der liebe Gott; alles andere ist Menschenwerk". (Van Kronecker is, het zij terloops opgemerkt, de uitdrukking ,,arithmetiseeren" afkomstig; Kronecker ging zelfs zoover, dat hij de irrationale getallen uit de wiskunde wilde bannen) i04). Natuurlijk is door de voorgaande opmerkingen de mogelijkheid niet aangetast, om bijvoorbeeld de meetkunde ook anders te grondvesten; toch houdt ook dan de arithmetiseeringsmogehjkheid hare waarde, omdat parallel aan dat anders opgezette meetkundige bouwsel, toch een rekenkundig gebouw kan worden opgetrokken, waarop te gelegener tijd een beroep kan worden gedaan, onder anderen, wanneer men er zich van wil overtuigen, dat het meetkundige bouwsel geen constructiefouten bezit 105). W e zien ons, in het licht van het voorgaande, thans gesteld voor de vraag, wat de natuurlijke getallen zijn en we wenden ons allereerst tot hen, die van meening zijn, dat de rij dezer getallen ons door intuïtie gegeven is. Achter deze uitdrukking zoeke men niets bovennatuurlijks; de mensch toch bezit het vermogen om in den stroom des tijds bepaalde belevingen van andere min of meer scherp te onderscheiden; maar hiermede heeft hij dan ook reeds het besef van eenheid tegenover veelheid; en de mogelijkheid om iets, dat hij beleefd heeft, door een symbool aan te duiden, en dit later weer te herkennen, sluit blijkbaar reeds de notie in van de eindelooze getallenrij 1, 2, 3 zoowel als van het fundamenteele principe der volledige inductie lOfi) (waarvan reeds Poincaré uitdrukkelijk betoogde, dat het onzen geest intuïtief helder is) 107)_

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen