Existentiebewijzen in de wiskunde - pagina 7

5 een duizendste vierkante millimeter). Terloops zij opgemerkt, dat de manoeuvres volgens het systeem van Besicovitch voor de marine weinig beteekenis hebben, daar de cirkel, waarbinnen zij nog plaats kunnen vinden, noodzakelijk zeer groot wordt, indien de van te voren opgegeven bovengrens voor het totaal der te beschrijven wateroppervlakte zeer klein is '^^), zoodat het schip al te ver buiten de territoriale wateren zou komen: de baan die het beschrijft is namelijk, ruw gesproken, een ster met vele lange spitse punten. De figuur is dus geenszins convex (d.i. zonder instulpingen). Vraagt men naar de kleinste convexe figuur, waarbinnen de draaiing van het schip plaats kan vinden, dan luidt het antwoord, dat deze wel bestaat: het is de gelijkzijdige driehoek met hoogte 40 meter. Dat is een stelling door Pujiwara vermoed, en bewezen door Pal^^).

Keeren wij tot het isoperimetrische probleem terug. Het zal U thans duidelijk zijn, waarom de vraag naar een bewijs voor Steiners existentie-bewering niet overdreven is. Nu is zijn bewering inderdaad juist; de oplossing van het isoperimetrische probleem (die overigens reeds den Grieken in den tijd vóór Aristoteles schijnt bekend te zijn geweest) ^^), luidt, dat onderalle vlakke figuren met gelijken gegeven omtrek, de cirkel de grootste oppervlakte bezit. Deze fraaie stelling, waarvoor Steiner een vijftal bewijzen publiceerde, houdt dus heel wat meer in, dan zijn zooeven geciteerde bewering, die een ,,bloote" (,,zuivere", ,,reine") existentie-uitspraak is, terwijl daarentegen in de stelling de kromme met de in het geding zijnde maximum-eigenschap met name genoemd wordt. Het merkwaardige, maar tevens het bedenkelijke is echter, dat bij al Steiners bewijzen der stelling, zijn zooeven gekritiseerde onbewezen existentie-bewering uitdrukkelijk vooropgesteld wordt, en in die bewijzen een essentieele rol speelt. Is dus de bewering onjuist, dan vallen ook Steiners bewijzen. Iets dergelijks komt in de wiskunde meer voor, bijvoorbeeld in de theorie der differentiaalvergelijkingen. Nemen wij aan, dat zij een oplossing bezitten, dan kunnen wdj uit sommige differentiaalvergelijkingen gemakkelijk allerlei eigenschappen dier oplossing afleiden. Het gaat er maar om, de existentie aan te toonen i"). Nu is er in de wiskunde veel gestreden over de vraag, of ,,zuivere" existentie-bewijzen mogelijk zijn, dat zijn zulke, die niet tevens de middelen bevatten om de grootheid, figuur of welk wiskundig object dan ook, waarvan de existentie wordt aangetoond, zelve aan te wijzen, te construeeren '^'^). Degenen, die deze vraag ontkennend beantwoorden, staan dus op het standpunt, dat ieder existentiebewijs óf ondeugdelijk is óf

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen