GeheugenvandeVU cookies

Voor optimale prestaties van de website gebruiken wij cookies. Overeenstemmig met de EU GDPR kunt u kiezen welke cookies u wilt toestaan.

Noodzakelijke en wettelijk toegestane cookies

Noodzakelijke en wettelijk toegestane cookies zijn verplicht om de basisfunctionaliteit van GeheugenvandeVU te kunnen gebruiken.

Optionele cookies

Onderstaande cookies zijn optioneel, maar verbeteren uw ervaring van GeheugenvandeVU.

Bekijk het origineel

Benaderingsproblemen bij irrationele getallen - pagina 13

Bekijk het origineel

+ Meer informatie

Benaderingsproblemen bij irrationele getallen - pagina 13

Rede uitgesproken bij de aanvaarding van het ambt van hoogleeraar in de wiskunde aan de Vrije Universiteit te Amsterdam

2 minuten leestijd Arcering uitzetten

13 waarin naar rationale waarden der onbekenden in verge? lijkingen of ongelijkheden wordt gevraagd, te noemen naar den grooten mathematicus Diophantos van Alexandrië. Daar de door ons beschouwde approximatieproblemen neerkomen op de vraag, of aan bepaalde ongelijkheden kan worden voldaan door rationale getallen, behooren deze vraagstukken tot het gebied der Diophantische problemen. Hiertoe moeten ook vele vragen worden gerekend, die niet in direct verband staan met de irrationaliteitsproblemen als b.v. problemen uit de theorie der roosterpunten, die ik terloops reeds noemde. De kern van een belangrijk gebied uit deze theorie der Diophantische approximaties is vervat in een artikel van H. Weyl, dat in 1916 verscheen. Om de gedachtengang van Weyl te verduidelijken, kies ik als voorbeeld het eenvou* digste geval, dat hij beschouwde, een probleem, dat echter reeds vroeger op verschillende manieren werd opgelost. Zij a een willekeurig irrationaal getal, dat we positief zullen veronderstellen. Geen enkel getal uit de rij: a, 2a, 3a, enz. kan dan geheel zijn. Wel kan bewezen worden, dat er in de rij oneindig vele getallen voorkomen, die net zoo dicht bij een geheel getal liggen, als men wenscht. Het is duidelijk, dat de resten, die men krijgt, door van elk getal der rij het aantal geheelen af te trekken, irrationale getallen zijn, die liggen tusschen 0 en 1. Men kan nu bewij? zen, dat deze getalletjes op het stuk der getallenrechte tus* schen 0 en 1 overal dicht liggen. Weyl bewijst zelfs, dat die verdeeling gelijkmatig overal dicht is; hij kiest voor dit begrip een definitie, die volkomen aansluit bij wat iedere leek eronder zou verstaan. Stellen we de getallenrechte voor door een koord, en winden we dit koord om een cirkel, waarvan de omtrek gelijk is aan de eenheid, dan vallen alle punten der getallenrechte, die onderling een geheel getal tot verschil hebben, op elkaar. Op dit koord geven we nu de getallen a, 2a, 3a aan door knoopjes op onderling gelijken afstand a, waar a het gegeven willekeurige irratio* nale getal is. Het net besproken resultaat houdt nu in, dat, als men het koord maar vaak genoeg om den cirkel windt,

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Bekijk de hele uitgave van vrijdag 10 oktober 1930

Inaugurele redes | 20 Pagina's

Benaderingsproblemen bij irrationele getallen - pagina 13

Bekijk de hele uitgave van vrijdag 10 oktober 1930

Inaugurele redes | 20 Pagina's