Benaderingsproblemen bij irrationele getallen - pagina 12

12 Essentieel nu in de verhandeling van Siegel is de posi? tieve wending, die het transcendentiebewijs krijgt; het be? wijs, dat de in de stelling van Lindemann optredende lineaire combinatie ongelijk aan nul is, wordt n.1. uitgevoerd doordat voor de absolute waarde dier lineaire combinatie een positieve ondergrens bepaald wordt. Voor het speciale geval van de exponentiaalfunctie zijn dergelijke onderzoen kingen door Popken verricht; Siegel's theorieën zijn echter algemeener. Hij deelt nieuwe methoden mede en geeft tal van nieuwe resultaten over de transcendentie van zekere functies en van verschillende kettingbreuken en getallen. Z o o kan hij aantoonen, dat in de rij der getallen log 2 log_3 log 3' log 4 ' willekeurig hooge irrationaliteiten voorkomen, terwijl men sinds Lindemann slechts wist, dat deze getallen irratio? naai zijn. Fundamenteel voor Siegel's onderzoekingen zijn de metho? den, die hij aangeeft om voor de absolute waarde eener lineaire combinatie van een aantal irrationale grootheden een positieve benedengrens aan te geven. In de laatste helft zijner verhandeling past hij de gevonden benaderingsme? thoden toe bij het onderzoek van Diophantische vergelijk kingen. Siegel bewijst n.1., dat de eenige algebraïsche krommen, die door oneindig veel roosterpunten van het vlak gaan, rechte lijnen, hyperbolen of andere, daaruit door een eenvoudige transformatie ontstane krommen van het geslacht nul zijn. De vraag naar het gedrag van lineaire combinaties van een aantal irrationale getallen hield reeds Kronecker bezig. Z e speelt overal in de theorieën der Diophantische approxi* maties een groote rol. De woorden approximatie en benadering, zullen U tijdens deze voordracht wel vertrouwd zijn geworden, doch het woord Diophantisch behoeft misschien in dit verband eenige toelichting. Men is in de wiskunde gewoon, problemen

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen