Discreet of continu - pagina 18

16

J. F. KOKSMA

bezit. Aan deze eis voldoet de rij der natuurlijke getallen in de natuurlijke rangorde. Niet echter de getallenrechte in haar natuurlijke rangorde: immers reeds de rij der breuken Y2,1/3, J4'- • • • vormt een deelverzameling zonder eerste ( = kleinste) element. Nu heeft echter Cantor de overtuiging en Zermelo de bewering uitgesproken, dat iedere verzameling zich wèl laat ordenen 3i). Bij zijn bewijs gebruikt Zermelo een axioma, het beroemde keuze-axioma van Zermelo, dat niet alleen door intuïtionisten, maar ook door vele andere wiskundigen discutabel, zo niet onaanvaardbaar wordt geacht. Ook al verwerpt men de stelling van Zermelo echter, dan nog behoeft de vraag om een speciale verzameling, in casu het continuum, wèl te ordenen, niet alle zin te verliezen. Maar ook deze vraag, die in wezen weer een zekere discretisering, een „telling" van het continuum bedoelt, blijkt tot nu toe onaangrijpbaar.

Het besprokene zou U de indruk kunnen geven, dat in de verzamelingenleer meer de nadruk wordt gelegd op het tellen dan op het m.eten en inderdaad is dat het geval in de theorie der machtigheden (cardlnaalgetallen) en de theorie der ordening (ordinaalgetallen). Maar in de maattheorie der puntverzamelingen op het voetspoor van Borel tot ontplooiing gebracht door Lebesgue, neemt het meten de centrale plaats in. Beperken we ons tot de getallenrechte en nemen we daar een puntverzameling. Men kan nu trachten aftelbare rijen van lijnsegmenten te vinden, die de verzameling zo nauw mogelijk omsluiten en dan pogen door limietovergang een maat voor de verzameling te definiëren. Bij deze methode wordt aan het enkele punt, als segment van lengte nul opgevat, volledig recht gedaan. Het verkregen maatbegrip kan weer dienen om oneindige puntverzamelingen, wat haar omvang betreft, met elkaar te vergelijken. Bezien we het deel der getallenrechte tussen de punten O en 1, het eenheidsvak, dan hebben de dikste verzamelingen daar de maat 1, de dunste de maat 0. Hoogst opmerkelijk is nu, dat voor een uitgebreide categorie van eigenschappen E, waarvan het zinvol is te vragen, of een gegeven reëel getal de betreffende eigenschap E bezit of niet, de 0-of-l-wet geldt: de verzameling aller reële getallen op ons eenheidsvak, die de eigenschap E bezitten, heeft de maat O of de maat 1, een merkwaardige interventie van het discrete, waarop ik niet verder zal ingaan, daar ik zulks in ander verband 15 jaar geleden uitvoerig heb gedaan 32).

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen