Is meetkunde ruimteleer? - pagina 4

definitie heeft men later uitgebreid, door aan het begrip maat het begrip plaats of rangschikking toe te voegen. Niet alle meetkundigen waren het met deze toevoeging direct eens, doch de voorstanders meenden nu eindelijk de goede vorm gevonden te hebben, immers deze beide begrippen wezen op een soort dualisme en het dualisme beschouwde men als een van de voornaamste eigenschappen van de natuur. De zooeven genoemde definitie van de meetkunde bleef ongeveer in deze vorm gehandhaafd tot in de negentiende eeuw. Doch dan geeft FELIX KLEIN blijk van een geheel nieuwe opvatting omtrent de meetkunde. In het jaar 1872 vestigt hij opnieuw de aandacht op het probleem van het wezen der meetkunde door het opstellen van zijn beroemd geworden „Erlanger Programm". K L E I N kenschetst hierin de meetkunde als de invariantentheorie van een trans formatie­ groep, een uitspraak, die wel erg verschilt van de reeds genoemde. De omschrijving, die KLEIN hiermee geeft, willen wij met een enkel woord nader toelichten. Als wij nagaan, wat ons eigenlijk interesseert in de gewone meetkunde, als ik met deze naam voor een oogenblik de Euclidische meetkunde mag aanduiden, dan bemerken we, dat het die eigenschappen van lichamen of figuren zijn, die niet veranderen, wanneer we deze lichamen verplaatsen, dus hun punten aan een orthogonale transformatie onderwerpen. Het komt derhalve hierop neer, dat we eigenschappen van figuren, d. w. z. puntverzamelingen, zoeken, die invariant zijn bij de groep van de orthogonale transformaties. Men kan nu ook andere trans­ formatiegroepen beschouwen, en de eigenschappen trachten te vinden, die daarbij invariant zijn. Men verkrijgt dan andere soorten meetkunde, waarop we nader terugkomen. Men moet de zooeven genoemde uitspraak van KLEIN niet zoozeer als definitie van de meetkunde beschouwen, dan wel als een poging een korte samenvatting te geven van het probleem van de meet­ kunde, die een leiddraad kan zijn bij het onderzoek. Het „Programm" laat de mogelijkheid zien de verschillende meetkunden vanuit een centraal gezichtspunt te bestudeeren en heeft als zoodanig groote verdienste voor de meetkunde gehad. Ik wil U nog wijzen op een essentieel verschil, dat er bestaat tusschen de definitie van KLEIN en die uit de oudheid. Laatst­ genoemde toch trachtte het doel van de meetkunde weer te geven, terwijl we mijns inziens in de uitspraak van KLEIN alleen kunnen zien het aangeven van een middel, een werkwijze, om tot dat doel te komen. Deze werkwijze bestaat dan in het bestudeeren van de invariantentheorie van een transformatiegroep ; het doel wordt door hem niet nader aangegeven. In dit stadium geeft men het op, he^

4

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen