Is meetkunde ruimteleer? - pagina 13

bepaald te zijn door deze quadratische vorm. Wij noemen deze meetkunde Riemannsche meetkunde. Als grondslag voor de meet­ kunde treedt hier dus op de uitdrukking voor de lengte van een lijnelement. Kiest men voor deze uitdrukking een andere vorm, dan gelden weer andere meetkundige eigenschappen. In een n-dimensionale ruimte zijn derhalve verschillende maatverhoudingen mogelijk. Dit geldt ook voor een ruimte van drie dimensies. Stellen wij ons nu op het standpunt, dat in onze ruimte, in de ruimte, waarin wij leven, een Riemannsche meetkunde geldt, dan blijven er nog on­ eindig veel mogelijkheden, wat de maatverhoudingen betreft. RIEMANN voert bij zijn beschouwingen het begrip kromming (Krümmungsmass) in, een invariant of getal, dat uit de quadratische vorm, dus uit de maat, kan worden afgeleid. In de Riemannsche meetkunde behoeft deze kromming niet constant te zijn; zij zal in het algemeen van punt tot punt veranderen en is daarnaast ook nog afhankelijk van richtingen in dat punt. Wanneer we echter aan­ nemen, dat in onze ruimte lichamen zonder hun vorm te veranderen willekeurig verplaatst kunnen worden, dan moet deze kromming constant zijn. Er blijven dan voor onze ruimte drie gevallen mogelijk, al naar gelang deze constante nul, negatief, dan wel positief is. Is de kromming nul, dan is de bij de quadratische vorm behoorende meetkunde identiek met de Euclidische meetkunde, is de kromming echter negatief, dan is ze identiek met de niet-Euclidische meetkunde van LOBATSCHEWSKY en BOLYAI. Deze meetkunden komen hier dus voor den dag als bijzondere gevallen van de Riemannsche meetkunde. Het derde geval met constante positieve kromming voert tot een tweede soort niet-Euclidische meetkunde. In deze niet-Euclidische meetkunde van RIEMANN snijden twee in een plat vlak gelegen rechte lijnen elkaar altijd en is de som van de hoeken van een driehoek grooter dan 1 8 0 ° . Geldt deze meetkunde in onze ruimte, dan is de ruimte eindig, hoewel onbegrensd. U zult U misschien afvragen, waarom RIEMANN als grondslag voor de meetkunde nu juist de wortel uit een quadratische vorm neemt en niet bijvoorbeeld de vierdemachtswortel uit een differen­ tiaalvorm van de vierde graad. In zijn werk noemt RIEMANN deze laatste mogelijkheid wel, doch hij wijst haar meteen van de hand. Hij acht een onderzoek in deze richting niet direct noodig, daar dit betrekkelijk weinig licht zal werpen op de leer van de ruimte. Uit dit gezegde blijkt wel heel duidelijk, dat het ook RIEMANN er om te doen is een beter inzicht te krijgen in de ruimte, wat haar meetkundige eigenschappen betreft. Hij beschouwt de naar hem genoemde meetkunde als een mogelijke beschrijvingswijze van onze ruimte. Zooals RIEMANN laat zien, zijn in een driedimensionale 13

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Terug naar resultaten Printen