Existentiebewijzen in de wiskunde - pagina 22

20 volgt laat beschrijven: om de breuken te verkrijgen heeft men de bovengenoemde geheele getallen paarsgewijze tot nieuwe symbolen samengevoegd en voor zulke getallenparen bepaalde rekenregels ingevoerd, ontleend aan het rekenen met geheele getallen. Het is echter heel wel mogelijk, voor de getallenparen deze rekenregels heel anders in te voeren, waardoor het systeem dier getallenparen in eigenschappen geheel zou afwijken van het ons bekende systeem der breuken. In de wiskunde gaat men nu doorgaans als volgt te werk: men definieert de breuken eenvoudig als getallenparen, waarvoor dat bepaalde systeem van bewerkingen is afgesproken ^0). Hierin ligt een sterk formalistische trek: hij, die dit voor het eerst ontmoet, voelt hier een kloof met de ervaring en vraagt zich af, wat deze getallenparen met het hem vertrouwde begrip der breuken en den in stukjes gesneden appel te maken hebben; bovendien vraagt hij zich af, waarom de rekenregels juist zóó, en niet anders werden gedefinieerd. De wiskundige zal antwoorden, dat het probleem van de verhouding van rekenkunde tot ervaring zeer moeilijk is, maar dat dit probleem niet wordt verhelderd door genoemde verhouding bij iederen stap in den opbouw van zeker onderdeel der rekenkunde in de beschouwingen te betrekken. Bij de hier gegeven invoering der breuken, weet men tenminste, waar men over spreekt en heeft men een exacte theorie, exact in dezelfde mate als rekenkunde exact mag worden genoemd: het begrip breuk is geacithmetiseerd. De wiskundige geeft verder toe, dat ook invoering van andere rekenregels op zijn standpunt volkomen gelijk recht heeft; zulke systemen spelen dan ook in de wiskunde een groote rol, men denke slechts aan de ,,geheele complexe getallen" van Gauss '•''''). Dat echter juist de breuken zulk een groote rol in de wiskunde spelen, het worde onmiddellijk toegegeven, zal voor een niet gering deel een gevolg zijn van het feit, dat ze door hun toepasbaarheid zoo'n groote rol spelen in het leven, maar waarop de toepasbaarheid berust, is, zooals reeds opgemerkt, een niet gemakkelijk probleem, ten aanzien waarvan verschillende standpunten mogelijk zijn, die echter (en dat is het voordeel der arithmetiseering) de hier bedoelde theorie der breuken zelve niet beïnvloeden, maar ten opzichte van haar, om zoo te zeggen, van andere orde zijn. Op dezelfde wijze gaat men in de wiskunde te werk met de irrationale getallen. Op het naïeve standpunt is V2 a priori een grootheid, die men met groeiende nauwkeurigheid kan benaderen door een oneindig voortloopende rij van breuken (bijvoorbeeld door de worteltrekking maar steeds verder door te zetten). In de wiskunde wordt V2 juist gedefinieerd als zoo'n rij van breuken •'*^). Door voor dergelijke rijen goed gekozen rekenregels in te voeren, heeft men de leer van het reëele getal gearithmetiseerd •'•'). Het systeem der complexe getallen kan men weer gemakkelijk

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen