Discreet of continu - pagina 17

DISCREET OF CONTINU

15

dan de machtigheid C van het continuum („de continue machtigheid"), welke uitspraak een fraaie expressie geeft aan de kloof tussen discreet en continu, beide gevangen onder het begrip der verzameling: Het continuum laat zich niet tellen. Het eerste continuumprobleem van Cantor komt nu neer op de vraag, of er tussen de beide machtigheden A en C van een zekere overbrugging sprake kan zijn, dan wel of zij om zo te zeggen onherroepelijk discreet van elkaar gescheiden staan. Anders gezegd: Laat zich op de rechte een oneindige puntverzameling aangeven, die noch de machtigheid A, noch de machtigheid C heeft? Dit probleem heeft aanleiding gegeven tot een ontzagwekkende literatuur, die zich ook deels beweegt op het terrein van de zoeven aangeroerde grondslagenstrijd 29). Voor een strenge intuïtionist is de vraag in deze vorm gesteld niet zinvol. In bepaalde axiomatische systemen echter kan men de vraag haar zin niet ontzeggen, maar hier hoort zij, ondanks grootse pogingen, nog steeds tot de onopgeloste problemen. Cantor heeft de beroemde continuumhypothese uitgesproken, dat zich tussen A en C geen andere machtigheden bevinden. Gödel heeft bewezen, dat het als juist aanvaarden van deze hypothese geen tegenspraak kan opleveren met de gangbare axiomata, een formidabele prestatie, die echter nog lang geen bewijs van Cantors hypothese inhoudt 30). Dat er tussen A en C geen al te groot gedrang van machtigheden optreedt, staat vast op grond van een stelling van König; hierop kan ik binnen het bestek van deze rede evenmin verder ingaan, als op de zeer vele nevenvormen en generalisaties van het continuumprobleem. Ik wijs echter op een buitengewoon belangwekkend vermoeden, waartoe men op grond van de tot dusverre bereikte resultaten gekomen is, namelijk het vermoeden, dat de gangbare axiomenstelsels, waarmede men de theorie der puntverzamelingen beschrijft, niet toereikend zijn om het continuumprobleem te beslissen. Men zou dan in dezelfde situatie verkeren, als in de meetkunde van Euclides, waarin bepaalde stellingen niet kunnen worden bewezen of weerlegd, zonder aan de postulaten van Euclides ook zijn beroemde vijfde postulaat, het parallelenaxioma, toe te voegen. Een tweede continuumprobleem door Cantor gesteld, is de vraag het continuum zogenaamd wèl te ordenen. Een verzameling heet weigeordend, als haar elementen zodanig in een rangorde zijn gesteld, dat elk harer deelverzamelingen in de zin dier rangorde een eerste element

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Terug naar resultaten Printen